Variété géodésiquement complète

En géométrie, une variété riemannienne (M, g) est dite géodésiquement complète lorsque les géodésiques sont prolongeables indéfiniment. En termes imagés il s'agit d'espaces courbes pour lesquels on peut aller en « ligne droite » aussi longtemps qu'on le veut. En termes plus formels, pour tout point m de M, l'application exponentielle d'origine m est définie sur l'espace tangent T_mM tout entier.

Le théorème de Hopf-Rinow permet d'affirmer que si M est une variété connexe, elle est géodésiquement complète, si et seulement si elle est complète au sens ordinaire des espaces topologiques, en considérant la topologie induite par la distance riemannienne.