Transformation de Landen

Les transformations de Landen transforment une intégrale elliptique (ou une fonction elliptique jacobienne) en une autre intégrale elliptique (ou une autre fonction elliptique jacobienne) de même forme, mais avec des variables différentes. Les transformations croissantes augmentent le module des fonctions elliptiques tandis que les transformations décroissantes le diminuent. Elles permettent d'effectuer plus rapidement les calculs numériques des fonctions elliptiques.

John Landen (1719-1790)

Historique

Cette transformation est l'œuvre initiale du mathématicien anglais John Landen (1719-1790) qui proposa en 1775 un changement de variable très réussi pour les intégrales et fonctions elliptiques[1].

Il a pu montrer que la longueur d'un arc d'hyperbole pouvait être exprimée par les longueurs des arcs de deux ellipses différentes. Chacune d’elles présente une excentricité qui peut être identifiée au module elliptique. La relation particulière entre les excentricités des deux ellipses que Landen découvrit plus tard porte son nom.

Cette transformation a été redécouverte indépendamment par Carl Friedrich Gauss[2]. La forme actuelle de la transformation de Landen a été développée par Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre et Gauss[3]. En utilisant la transformation de Landen, Gauss a calculé la longueur de la lemniscate^{[réf. souhaitée]}. En particulier, les travaux de Legendre ont joué un rôle majeur pour Niels Henrik Abel et Charles Gustave Jacob Jacobi dans leur développement des fonctions elliptiques.

Landen a découvert une nouvelle façon de calculer, et pas seulement les fonctions elliptiques. Son idée principale, selon laquelle la fonction calculée peut être représentée par une fonction de la même forme mais avec d'autres paramètres qui tendent vers certaines limites lors de la récursion, a ensuite été largement utilisée en mathématiques computationnelles. Cette transformation modulaire joue un rôle important dans les mathématiques modernes[4].

Changement de variable et nouveau module

Au sens large, la transformation de Landen désigne une transformation reposant sur le principe selon lequel la fonction calculée peut être représentée par une fonction de la même forme mais avec d'autres paramètres qui tendent vers certaines limites lors de la récursion ; tandis que la transformation de Landen à proprement parlé désigne la transformation qui utilise le changement de variable que Landen a proposé^{[réf. souhaitée]}.

On pose :

{\begin{cases}k_{0}=k\\k'_{0}=k'\\\theta _{0}=\theta \end{cases}}

.

Les transformations changent le module $k_{0}$ en un autre module $k_{1}$ ou $k_{-1}$ en changeant la variable d'intégration $\theta _{0}$ en une nouvelle variable $\theta _{1}$ ou $\theta _{-1}$ définie ainsi :

pour la transformation de Landen :

\sin \left(2\theta _{n+1}-\theta _{n}\right)=k_{n}\sin \theta _{n}\quad \Leftrightarrow \quad \sin \theta _{n}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\sin \theta _{n+1}\cos \theta _{n+1}}{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}={\frac {\left(1+k_{n+1}'\right)\sin \theta _{n+1}\cos \theta _{n+1}}{\sqrt {1-k_{n+1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}

pour la transformation gaussienne :

\sin \theta _{n+1}={\frac {\left(1+k_{n}\right)\sin \theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}\quad \Leftrightarrow \quad \sin \theta _{n}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\sin \theta _{n+1}}{1+{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}}={\frac {\left(1+k_{n+1}'\right)\sin \theta _{n+1}}{1+{\sqrt {1-k_{n+1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}}

Ainsi, pour la transformation de Landen comme pour la transformation gaussienne, on a les relations suivantes :

{\begin{cases}&k_{n+1}&={\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}&={\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k_{n}'^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}'^{2}}}}},&k_{n+1}'&={\frac {1-k_{n}}{1+k_{n}}}&={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}'^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}'^{2}}}}}\\\Leftrightarrow &k_{n-1}&={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}&={\frac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}},&k_{n-1}'&={\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}&={\frac {2{\sqrt {k_{n}'}}}{1+k_{n}'}}\end{cases}}

Une transformation qui change $k_{n}$ en $k_{n+1}$ est une transformation croissante et une transformation qui change $k_{n}$ en $k_{n-1}$ est une transformation décroissante parce que :

{\begin{cases}k_{n}\leqslant 1\Rightarrow k_{n+1}\geqslant {\sqrt {k_{n}}}&\Rightarrow k_{n+1}\geqslant k_{n}\\k_{n-1}={\frac {k_{n}^{2}}{\left(1+k_{n}'\right)^{2}}}&\Rightarrow k_{n-1}\leqslant k_{n}\end{cases}}

On peut aussi exprimer ainsi la relation de récurrence :

k_{n-1}=\tan ^{2}{\frac {\arcsin k_{n}}{2}}=\operatorname {th} ^{2}{\frac {\operatorname {argth} k_{n}}{2}}

Démonstration

$\tan ^{2}{\frac {\arcsin x}{2}}={\frac {\sin ^{2}{\frac {\arcsin x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\arcsin x}{2}}}}={\frac {1-\cos \arcsin x}{1+\cos \arcsin x}}={\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
$\operatorname {th} ^{2}x={\frac {\operatorname {sh} ^{2}x}{\operatorname {ch} ^{2}x}}={\frac {\operatorname {ch} ^{2}x-1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\Rightarrow \operatorname {ch} ^{2}x={\frac {1}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}\Rightarrow \operatorname {ch} x={\frac {1}{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}x}}}$

\operatorname {ch} (2x)=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=2\operatorname {sh} ^{2}x+1\Rightarrow {\begin{cases}\operatorname {ch} x={\sqrt {\frac {\operatorname {ch} (2x)+1}{2}}}\\\operatorname {sh} x={\sqrt {\frac {\operatorname {ch} (2x)-1}{2}}}\\\operatorname {th} x={\sqrt {\frac {\operatorname {ch} (2x)-1}{\operatorname {ch} (2x)+1}}}\end{cases}}

\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{\operatorname {ch} x+1}}\Rightarrow \operatorname {th} ^{2}{\frac {\operatorname {argth} x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} \operatorname {argth} x-1}{\operatorname {ch} \operatorname {argth} x+1}}={\frac {{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}-1}{{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}+1}}={\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}

Transformations de Landen des intégrales elliptiques de première espèce

Démonstration

On commence par vérifier la réciprocité de :

\sin \left(2\theta _{n+1}-\theta _{n}\right)=k_{n}\sin \theta _{n}\quad \Leftrightarrow \quad \sin \theta _{n}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\sin \theta _{n+1}\cos \theta _{n+1}}{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}

On a :

\sin \theta _{n}={\frac {\sin \left(2\theta _{n+1}\right)}{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}}\quad ,\quad \cos \theta _{n}={\frac {k_{n}+\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}}\quad ,\quad \tan \theta _{n}={\frac {\sin \left(2\theta _{n+1}\right)}{k_{n}+\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}

En multipliant cette dernière égalité par $\cos \theta _{n}\left[k_{n}+\cos \left(2\theta _{n+1}\right)\right]$ , on a bien : $\sin \left(2\theta _{n+1}-\theta _{n}\right)=k_{n}\sin \theta _{n}$ . Ce changement de variable permet que l'angle transformé devienne plus petit que l'angle d'origine : $k_{n}\leqslant 1\Rightarrow 2\theta _{n+1}-\theta _{n}\leqslant \theta _{n}\Rightarrow \theta _{n+1}\leqslant \theta _{n}$ [5].

Les grandeurs apparaissant dans l'intégrale elliptique de première espèce sont :

{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}={\sqrt {1-\sin ^{2}(2\theta _{n+1}-\theta _{n})}}=\cos \left(2\theta _{n+1}-\theta _{n}\right)={\frac {1+k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}}

\mathrm {d} \theta _{n}=\cos ^{2}\theta _{n}\,\mathrm {d} \tan \theta _{n}={\frac {2\left[1+k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)\right]}{1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}\mathrm {d} \theta _{n+1}

Ainsi :

{\mathrm {d} \theta _{n} \over {\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}={\frac {2}{1+k_{n}}}{\frac {\mathrm {d} \theta _{n+1}}{\sqrt {1-k_{n+1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}

Amplitude

On calcule l'amplitude $\varphi _{n+1}^{L}$ (on pose : $\varphi _{0}^{L}=\varphi$ ) :

\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}={\frac {1-\cos ^{2}(2\varphi _{n+1}^{L})}{1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos(2\varphi _{n+1}^{L})}}

\Rightarrow \cos ^{2}(2\varphi _{n+1}^{L})+2k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}\cos(2\varphi _{n+1}^{L})+k_{n}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}-1+\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}=0

\Rightarrow \cos(2\varphi _{n+1}^{L})=-k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}\pm {\sqrt {k_{n}^{2}\sin ^{4}\varphi _{n}^{L}-k_{n}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}+1-\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}}}\in \left[-1;+1\right]

\Rightarrow \cos(2\varphi _{n+1}^{L})=-k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}+\cos \varphi _{n}^{L}{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}}}

\Rightarrow \varphi _{n+1}^{L}=\arcsin {\sqrt {\frac {1+k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}-\cos \varphi _{n}^{L}{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}}}}{2}}}

On calcule l'amplitude $\varphi _{n}^{L}$ . Puisque $\varphi _{n+1}^{L}\in \left[{\frac {\varphi _{n}^{L}}{2}};\varphi _{n}^{L}\right]\Leftrightarrow \varphi _{n}^{L}\in \left[\varphi _{n+1}^{L};2\varphi _{n+1}^{L}\right]$ , on a :

{\begin{cases}\varphi _{n+1}^{L}\in \left[0;{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\arccos k_{n}}{2}}\right]&\Leftrightarrow \varphi _{n}^{L}\in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]\\\varphi _{n+1}^{L}\in \left[{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\arccos k_{n}}{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]&\Leftrightarrow \varphi _{n}^{L}\in \left[{\frac {\pi }{2}};\pi \right]\end{cases}}

\varphi _{n}^{L}=\arccos {\frac {k_{n}+\cos \left(2\varphi _{n+1}^{L}\right)}{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\varphi _{n+1}^{L}\right)}}}=\arccos {\frac {1-\left(1+k'_{n+1}\right)\sin ^{2}\varphi _{n+1}^{L}}{\sqrt {1-k_{n+1}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n+1}^{L}}}}

Si on utilise la notation de l'intégrale elliptique avec un point-virgule, on est obligé de décomposer l'intégrale en tronçons ne dépassant pas $\pi /2$ puisque cette notation ne permet que d'exprimer des intégrales elliptiques dont l'amplitude ne dépasse pas $\pi /2$ : si $\varphi _{n}^{L}\in \left]\pi /2;\pi \right]$ , $F\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)=2K\left(k_{n}\right)-F\left(\pi -\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)=2K\left(k_{n}\right)-F\left(\sin \varphi _{n}^{L};k_{n}\right)$ .

Autre formulation

Si $k_{n}$ , $k_{n+1}'$ , $\varphi _{n}^{L}$ et $\varphi _{n+1}^{L}$ sont tels que $\left(1+k_{n}\right)\left(1+k_{n+1}'\right)=2$ et $\tan \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)=k_{n+1}'\tan \varphi _{n+1}^{L}$ , alors la transformation de Landen stipule que :

F\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)={\frac {2}{1+k_{n}}}F\left(\varphi _{n+1}^{L},k_{n+1}\right)=(1+k_{n+1}')F\left(\varphi _{n+1}^{L},k_{n+1}\right)

La transformation de Landen peut donc être exprimée soit en fonction de son module elliptique $k$ , soit en fonction de son comodule $k'$ .

En effet :

En réécrivant $\sin \left(2\varphi _{n+1}^{L}-\varphi _{n}^{L}\right)=k_{n}\sin \varphi _{n}^{L}$ :

\sin \varphi _{n+1}^{L}\cos \left(\varphi _{n+1}^{L}-\varphi _{n}^{L}\right)+\cos \varphi _{n+1}^{L}\sin \left(\varphi _{n+1}^{L}-\varphi _{n}^{L}\right)=k_{n}\sin \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)\cos \varphi _{n+1}^{L}+k_{n}\cos \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)\sin \varphi _{n+1}^{L}

et en divisant par

\cos \varphi _{n+1}^{L}\cos \left(\varphi _{n+1}^{L}-\varphi _{n}^{L}\right)

, on a :

\tan \varphi _{n+1}^{L}-\tan \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)=k_{n}\tan \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)+k_{n}\tan \varphi _{n+1}^{L}

ce qui donne :

\tan \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)=k_{n+1}'\tan \varphi _{n+1}^{L}\Rightarrow {\frac {\tan \varphi _{n}^{L}-\tan \varphi _{n+1}^{L}}{1+\tan \varphi _{n}^{L}\tan \varphi _{n+1}^{L}}}=k_{n+1}'\tan \varphi _{n+1}^{L}\Rightarrow \tan \varphi _{n}^{L}={\frac {\left(1+k_{n+1}'\right)\tan \varphi _{n+1}^{L}}{1-k_{n+1}'\tan ^{2}\varphi _{n+1}^{L}}}

De plus, on a :

\left(1+k_{n}\right)\left(1+k_{n+1}'\right)=2

Démonstration

On commence par vérifier la réciprocité de :

\sin \theta _{n+1}={\frac {\left(1+k_{n}\right)\sin \theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}\quad \Leftrightarrow \quad \sin \theta _{n}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\sin \theta _{n+1}}{1+{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k}}_{n}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}}

On a bien :

\sin \theta _{n}={\frac {\frac {2\sin \theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}{1+{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k}}_{n}}{1+k_{n}}}\right)^{2}{\frac {\left(1+k_{n}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}{\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}}}}}}}={\frac {\frac {2\sin \theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}{1+{\frac {1-k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}}}=\sin \theta _{n}

Les grandeurs apparaissant dans l'intégrale elliptique de première espèce sont :

{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}={\frac {\sqrt {\left(1+k_{n}-k_{n}\cos ^{2}\theta _{n}\right)^{2}-\left(1+k_{n}\right)^{2}+\left(1+k_{n}\right)^{2}\cos ^{2}\theta _{n}}}{\cos \theta _{n}}}={\frac {\sqrt {\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}-\left(1+k_{n}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}{\cos \theta _{n}}}

\mathrm {d} \theta _{n+1}={\frac {\mathrm {d} \sin \theta _{n+1}}{\cos \theta _{n+1}}}={\frac {\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)\left({1+k_{n}}\right)\cos \theta _{n}-2k_{n}\left({1+k_{n}}\right)\sin ^{2}\theta _{n}\cos \theta _{n}}{\cos \theta _{n+1}\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}}}\mathrm {d} \theta _{n}={\frac {\left(1-k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)\left({1+k_{n}}\right)\cos \theta _{n}}{\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right){\sqrt {\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}-\left(1+k_{n}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}}\mathrm {d} \theta _{n}

On a alors :

{\frac {\mathrm {d} \theta _{n}}{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}={\frac {\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)\mathrm {d} \theta _{n+1}}{\left(1-k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)\left(1+k_{n}\right)}}={\frac {\mathrm {d} \theta _{n+1}}{\left(1+k_{n}\right){\sqrt {1-{\frac {4k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}{\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}}}}}}}={\frac {\mathrm {d} \theta _{n+1}}{\left(1+k_{n}\right){\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k}}_{n}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}}

Amplitude

On calcule l'amplitude $\varphi _{n+1}$ (on pose : $\varphi _{0}^{G}=\varphi$ ) :

\varphi _{n+1}^{G}=\arcsin {\frac {\left(1+k_{n}\right)\sin \varphi _{n}^{G}}{1+k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{G}}}

L'amplitude $\varphi _{n}^{G}$ vaut :

\varphi _{n}^{G}=\arcsin {\frac {2\sin \varphi _{n+1}^{G}}{1+k_{n}+{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\varphi _{n+1}^{G}\right)}}}}=\arcsin {\frac {\left(1+k'_{n+1}\right)\sin \varphi _{n+1}^{G}}{1+{\sqrt {1-k_{n+1}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n+1}^{G}}}}}

Transformation AGM quartique

En plus des changements de variable landenien et gaussien, il en existe d'autres, par exemple celui-ci :

\tan \theta _{n+1}={\frac {1+\sin \theta _{n}}{{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\cos \theta _{n}}}

^{[réf. à confirmer]}

Itération

$alt=Quel que soit k n {\displaystyle k_{n}} , φ n L {\displaystyle \varphi _{n}^{L}} varie de 0 à π {\displaystyle \pi } lorsque φ n + 1 L {\displaystyle \varphi _{n+1}^{L}} varie de 0 à π / 2 {\displaystyle \pi /2} .$

Transformation de Landen

{\begin{array}{ccc}[0;\pi ]&\to &[0;\pi /2]\\\varphi _{n}^{L}&\mapsto &\varphi _{n+1}^{L}\end{array}}

Cliquer pour voir et modifier le graphique.

$alt=Quel que soit k n {\displaystyle k_{n}} , φ n G {\displaystyle \varphi _{n}^{G}} varie de 0 à π / 2 {\displaystyle \pi /2} lorsque φ n + 1 G {\displaystyle \varphi _{n+1}^{G}} varie de 0 à π / 2 {\displaystyle \pi /2} .$

Transformation de Gauss

{\begin{array}{ccc}[0;\pi /2]&\to &[0;\pi /2]\\\varphi _{n}^{G}&\mapsto &\varphi _{n+1}^{G}\end{array}}

Cliquer pour voir et modifier le graphique.

\varphi _{n+1}^{L}\left(\varphi _{n}^{L}\right)

et

\varphi _{n+1}^{G}\left(\varphi _{n}^{G}\right)

pour

k_{n}\in [0;1]

par pas de

0{,}05

. La courbe rouge correspond au cas

k_{n}=0{,}8

.

En répétant plusieurs fois de suite la transformation de Landen ou gaussienne, on aura $k_{\infty }\rightarrow 1$ si on utilise la transformation croissante, et $k_{-\infty }\rightarrow 0$ si on utilise la transformation décroissante. $\varphi$ évolue ainsi : $k_{n}\nearrow \,\Rightarrow \varphi _{n}^{L/G}\searrow$ et $k_{-n}\searrow \,\Rightarrow \varphi _{-n}^{L/G}\nearrow$ . Lorsque le module est égal à 0 ou 1, l'intégrale elliptique peut être calculée analytiquement[6] :

F\left(\varphi ,0\right)=\varphi

F\left(\varphi ,1\right)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}=\operatorname {artanh} \sin \varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}=\ln {\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}=\ln {\frac {\cos {\frac {\varphi }{2}}+\sin {\frac {\varphi }{2}}}{\cos {\frac {\varphi }{2}}-\sin {\frac {\varphi }{2}}}}=\ln {\frac {1+\tan {\frac {\varphi }{2}}}{1-\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=\ln \tan \left({\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)

Si l'on part d'un module $k$ et d'une amplitude $\varphi$ arbitraires, une intégrale elliptique générale de première espèce peut être calculée numériquement ainsi :

Pour la transformation de Landen :

{\begin{aligned}F\left(\varphi ,k\right)&={2 \over 1+k}F\left(\varphi _{1}^{L},k_{1}\right)&=&{2 \over 1+k}{2 \over 1+k_{1}}F\left(\varphi _{2}^{L},k_{2}\right)&=&{2 \over 1+k_{0}}\cdots {2 \over 1+k_{n-1}}F\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)\\&={\frac {k_{1}}{\sqrt {k}}}F\left(\varphi _{1}^{L},k_{1}\right)&=&{\frac {k_{1}}{\sqrt {k}}}{\frac {k_{2}}{\sqrt {k_{1}}}}F\left(\varphi _{2}^{L},k_{2}\right)&=&{\frac {k_{n}{\sqrt {k_{0}\cdots k_{n-1}}}}{k}}F\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)\\&={1+k_{-1} \over 2}F\left(\varphi _{-1}^{L},k_{-1}\right)&=&{1+k_{-1} \over 2}{1+k_{-2} \over 2}F\left(\varphi _{-2}^{L},k_{-2}\right)&=&{1+k_{-1} \over 2}\cdots {1+k_{-n} \over 2}F\left(\varphi _{-n}^{L},k_{-n}\right)\\&={\frac {\sqrt {k_{-1}}}{k}}F\left(\varphi _{-1}^{L},k_{-1}\right)&=&{\frac {\sqrt {k_{-1}}}{k}}{\frac {\sqrt {k_{-2}}}{k_{-1}}}F\left(\varphi _{-2}^{L},k_{-2}\right)&=&{\frac {k_{-n}}{k{\sqrt {k_{-1}\cdots k_{-n}}}}}F\left(\varphi _{-n}^{L},k_{-n}\right)\end{aligned}}

F\left(\varphi ,k\right)=\ln \tan \left({\frac {\varphi _{\infty }^{L}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}=\ln \tan \left({\frac {\varphi _{\infty }^{L}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\sqrt {\prod _{n=0}^{\infty }k_{n}}}{k}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi _{-n}^{L}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1+k_{-i}}{2}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi _{-n}^{L}{\frac {k_{-n}}{k{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}}}

[7]

Pour la transformation gaussienne :

{\begin{aligned}F\left(\varphi ,k\right)&={1 \over 1+k}F\left(\varphi _{1}^{G},k_{1}\right)&=&{1 \over 1+k}{1 \over 1+k_{1}}F\left(\varphi _{2}^{G},k_{2}\right)&=&{1 \over 1+k_{0}}\cdots {1 \over 1+k_{n-1}}F\left(\varphi _{n}^{G},k_{n}\right)\\&={\frac {k_{1}}{2{\sqrt {k}}}}F\left(\varphi _{1}^{G},k_{1}\right)&=&{\frac {k_{1}}{2{\sqrt {k}}}}{\frac {k_{2}}{2{\sqrt {k}}_{1}}}F\left(\varphi _{2}^{G},k_{2}\right)&=&{\frac {k_{n}{\sqrt {k_{0}\cdots k_{n-1}}}}{2^{n}k}}F\left(\varphi _{n}^{G},k_{n}\right)\\&=\left(1+k_{-1}\right)F\left(\varphi _{-1}^{G},k_{-1}\right)&=&\left(1+k_{-1}\right)\left(1+k_{-2}\right)F\left(\varphi _{-2}^{G},k_{-2}\right)&=&\left(1+k_{-1}\right)\cdots \left(1+k_{-n}\right)F\left(\varphi _{-n}^{G},k_{-n}\right)\\&={\frac {2{\sqrt {k_{-1}}}}{k}}F\left(\varphi _{-1}^{G},k_{-1}\right)&=&{\frac {2{\sqrt {k_{-1}}}}{k}}{\frac {2{\sqrt {k_{-2}}}}{k_{-1}}}F\left(\varphi _{-2}^{G},k_{-2}\right)&=&{\frac {2^{n}k_{-n}}{k{\sqrt {k_{-1}\cdots k_{-n}}}}}F\left(\varphi _{-n}^{G},k_{-n}\right)\end{aligned}}

F\left(\varphi ,k\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\ln \tan \left({\frac {\varphi _{n}^{G}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\prod _{i=0}^{n}{\frac {1}{1+k_{i}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\ln \tan \left({\frac {\varphi _{n}^{G}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\sqrt {\prod _{i=0}^{n}k_{n}}}{2^{n}k}}=\varphi _{-\infty }^{G}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+k_{-n}\right)=\varphi _{-\infty }^{G}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{n}k_{-n}}{k{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}}}

[7]

où $\varphi _{\infty }^{L}$ , $\varphi _{-\infty }^{L}$ , $\varphi _{\infty }^{G}$ et $\varphi _{-\infty }^{G}$ sont les valeurs asymptotiques de l'amplitude transformée. On remarquera que $\varphi _{-n}^{L}$ double à chaque itération lorsque $n\to \infty$ [A 1].

Les convergences de $k_{n}$ et $k_{-n}$ sont quadratiques : $-\lg \left({1-k_{n}}\right)$ et $-\lg k_{-n}$ doublent à peu près à chaque itération, ce qui signifie que peu d'itérations suffisent : $k=0{,}1\Rightarrow 1-k_{5}<10^{-14}$ , $k=10^{-100}\Rightarrow 1-k_{11}<10^{-14}$ , $k=0{,}9\Rightarrow k_{-5}<10^{-14}$ et $k=1-10^{-14}\Rightarrow k_{-8}<10^{-14}$ .

L'intégrale elliptique complète de première espèce est[8] :

K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)={\frac {1+k_{-1}}{2}}F\left(\pi ,k_{-1}\right)=\left(1+k_{-1}\right)K\left(k_{-1}\right)=(1+k_{-1})(1+k_{-2})K\left(k_{-2}\right)={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+k_{-n})

Transformation de Landen du nom elliptique

On a[9] :

K\left(k_{n+1}\right)=\left(1+k_{n}\right)K\left(k_{n}\right)\Rightarrow K\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)=\left(1+k_{n}\right)K\left(k_{n}\right)\Rightarrow K\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}'}}}{1+k_{n}'}}\right)=\left(1+k_{n}'\right)K\left(k_{n}'\right)\Rightarrow K\left(k_{n-1}'\right)=\left(1+k_{n}'\right)K\left(k_{n}'\right)\Rightarrow

K\left(k_{n}'\right)=\left(1+k_{n+1}'\right)K\left(k_{n+1}'\right)

\Rightarrow {\frac {K\left(k'_{n}\right)}{K\left(k_{n}\right)}}=2{\frac {K\left(k_{n+1}'\right)}{K\left(k_{n+1}\right)}}

\Rightarrow q(k_{n})^{2}=q\left(k_{n-1}\right)

Transformations de Landen des intégrales elliptiques de deuxième espèce

Démonstration

On pose (avec $a>b$ )[A 2][10] :

{\begin{cases}\displaystyle F\left(a,b,\varphi \right)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\[4pt]\displaystyle E\left(a,b,\varphi \right)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta \end{cases}}

et

{\begin{cases}a_{n-1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\\b_{n-1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\\c_{n-1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}\end{cases}}

Le module devient $k_{n}={\sqrt {1-\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)^{2}}}={\frac {c_{n}}{a_{n}}}$ , si bien que $k_{n-1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}$ . On a $a_{n}^{2}=b_{n}^{2}+c_{n}^{2}$ . $a_{-1}$ et $b_{-1}$ sont respectivement la moyenne arithmétique et géométrique de $a$ et $b$ . Si la transformation est itérée plusieurs fois, alors les paramètres $a_{-i}$ et $b_{-i}$ convergent très rapidement vers une valeur commune, même s’ils sont initialement d’ordres de grandeur différents. La valeur limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et notée $\operatorname {AGM} (a,b)$ ou $M(a,b)$ . On a alors $a_{-\infty }=b_{-\infty }=\operatorname {AGM} \left(a,b\right)$ . On a :

{\frac {2}{1+k_{n-1}}}{\frac {\mathrm {d} \theta _{n}}{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}={\mathrm {d} \theta _{n-1} \over {\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}}}}\Rightarrow {\frac {2\mathrm {d} \theta _{n}}{\sqrt {a_{n}^{2}\cos ^{2}\theta _{n}+b_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}={\frac {\mathrm {d} \theta _{n-1}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}\cos ^{2}\theta _{n-1}+b_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}}}}

et :

\cos(2\theta _{n}^{L})=-k_{n-1}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}+\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}

\Rightarrow {\begin{cases}2\cos ^{2}\theta _{n}^{L}=1-k_{n-1}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}+\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}\\2\sin ^{2}\theta _{n}^{L}=1+k_{n-1}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}-\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}\end{cases}}

{\begin{aligned}\Rightarrow 2a_{n}^{2}\cos ^{2}\theta _{n}^{L}+2b_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}^{L}&=\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\left(\cos ^{2}\theta _{n-1}^{L}+\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}\right)-\left(a_{n}^{2}-b_{n}^{2}\right)k_{n-1}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}+\left(a_{n}^{2}-b_{n}^{2}\right)\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}\\&=\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\cos ^{2}\theta _{n-1}^{L}+2a_{n}b_{n}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}+\left(a_{n}-b_{n}\right)\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2}-\left(a_{n}-b_{n}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}\\&=4\left(a_{n-1}^{2}\cos ^{2}\theta _{n-1}^{L}+b_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}\right)-2b_{n-1}^{2}+4c_{n-1}\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {a_{n-1}^{2}\cos ^{2}\theta _{n-1}^{L}+b_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}\end{aligned}}

En intégrant, on obtient :

F\left(a_{n},b_{n},\varphi _{n}^{L}\right)={\frac {1}{2}}F\left(a_{n-1},b_{n-1},\varphi _{n-1}^{L}\right)={\frac {1}{2^{m}}}F\left(a_{n-m},b_{n-m},\varphi _{n-m}^{L}\right)

E\left(a_{n},b_{n},\varphi _{n}^{L}\right)=E\left(a_{n-1},b_{n-1},\varphi _{n-1}^{L}\right)-{\frac {b_{n-1}^{2}}{2}}F\left(a_{n-1},b_{n-1},\varphi _{n-1}^{L}\right)+c_{n-1}\sin \varphi _{n-1}^{L}

\Rightarrow E\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)={\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}E\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)-{\frac {b_{n-1}^{2}}{2a_{n}a_{n-1}}}F\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)+{\frac {c_{n-1}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n-1}^{L}

\Rightarrow E\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)={\frac {1+k_{n}'}{2}}E\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)-{\frac {k_{n}'}{1+k_{n}'}}F\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)+{\frac {1-k_{n}'}{2}}\sin \varphi _{n-1}^{L}

\Rightarrow E\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)={\frac {1}{1+k_{n-1}}}E\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)-{\frac {1-k_{n-1}}{2}}F\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)+{\frac {k_{n-1}}{1+k_{n-1}}}\sin \varphi _{n-1}^{L}

On fera attention comme précédemment si on utilise les notations avec un point-virgule.

Itération

{\begin{aligned}E\left(a,b,\varphi \right)-a^{2}F\left(a,b,\varphi \right)&=E\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-a_{-1}^{2}F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)+\left(a_{-1}^{2}-{\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {b_{-1}^{2}}{2}}\right)F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)+c_{-1}\sin \varphi _{-1}^{L}\\&=E\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-a_{-1}^{2}F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-a_{-1}c_{-1}F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)+c_{-1}\sin \varphi _{-1}^{L}\\&=E\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-a_{-1}^{2}F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-2a_{-1}c_{-1}F\left(a,b,\varphi \right)+c_{-1}\sin \varphi _{-1}^{L}\\&=E\left(a_{-2},b_{-2},\varphi _{-2}^{L}\right)-a_{-2}^{2}F\left(a_{-2},b_{-2},\varphi _{-2}^{L}\right)-2a_{-1}c_{-1}F\left(a,b,\varphi \right)-4a_{-2}c_{-2}F\left(a,b,\varphi \right)+c_{-1}\sin \varphi _{-1}^{L}+c_{-2}\sin \varphi _{-2}^{L}\\&=\operatorname {AGM} \left(a,b\right)\varphi _{-\infty }^{L}-\operatorname {AGM} \left(a,b\right)\varphi _{-\infty }^{L}-\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{-n}c_{-n}F\left(a,b,\varphi \right)+\sum _{n=1}^{\infty }c_{-n}\sin \varphi _{-n}^{L}\\&=-\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{-n}c_{-n}F\left(a,b,\varphi \right)+\sum _{n=1}^{\infty }c_{-n}\sin \varphi _{-n}^{L}\end{aligned}}

E\left(a,b,\varphi \right)=\left[a^{2}-\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{-n}c_{-n}\right]F\left(a,b,\varphi \right)+\sum _{n=1}^{\infty }c_{-n}\sin \varphi _{-n}^{L}

{\begin{aligned}E\left(\varphi ,k\right)&=\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}a_{-n}c_{-n}}{a^{2}}}\right]F\left(\varphi ,k\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{-n}}{a}}\sin \varphi _{-n}^{L}\\&=\left[1-{\tfrac {2a_{-1}c_{-1}}{a^{2}}}-{\tfrac {2a_{-1}c_{-1}}{a^{2}}}{\tfrac {2a_{-2}c_{-2}}{a_{-1}c_{-1}}}-{\tfrac {2a_{-1}c_{-1}}{a^{2}}}{\tfrac {2a_{-2}c_{-2}}{a_{-1}c_{-1}}}{\tfrac {2a_{-3}c_{-3}}{a_{-2}c_{-2}}}-\cdots \right]F\left(\varphi ,k\right)+{\tfrac {c_{-1}}{a}}\sin \varphi _{-1}^{L}+{\tfrac {a_{-1}}{a}}{\tfrac {c_{-2}}{a_{-1}}}\sin \varphi _{-2}^{L}+{\tfrac {a_{-1}}{a}}{\tfrac {a_{-2}}{a_{-1}}}{\tfrac {c_{-3}}{a_{-2}}}\sin \varphi _{-3}^{L}+\cdots \\&=\left[1-{\tfrac {k^{2}}{2}}\left(1+{\tfrac {k_{-1}}{2}}+{\tfrac {k_{-1}k_{-2}}{4}}+{\tfrac {k_{-1}k_{-2}k_{-3}}{8}}+\cdots \right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+{\tfrac {k_{-1}}{1+k_{-1}}}\sin \varphi _{-1}^{L}+{\tfrac {1}{1+k_{-1}}}{\tfrac {k_{-2}}{1+k_{-2}}}\sin \varphi _{-2}^{L}+{\tfrac {1}{1+k_{-1}}}{\tfrac {1}{1+k_{-2}}}{\tfrac {k_{-3}}{1+k_{-3}}}\sin \varphi _{-3}^{L}+\cdots \\&=\left[1-k\left(\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{i=0}^{n}{\frac {k_{-i}}{2^{n}}}\right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {k_{-n}}{\prod _{i=1}^{n}\left(1+k_{-i}\right)}}\sin \varphi _{-n}^{L}\\&=\left[1-k\left({\tfrac {k}{2}}+{\tfrac {k\,k_{-1}}{4}}+{\tfrac {k\,k_{-1}k_{-2}}{8}}+{\tfrac {k\,k_{-1}k_{-2}k_{-3}}{16}}+\cdots \right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+k_{-1}{\tfrac {k}{2{\sqrt {k_{-1}}}}}\sin \varphi _{-1}^{L}+k_{-2}{\tfrac {k}{2{\sqrt {k_{-1}}}}}{\tfrac {k_{-1}}{2{\sqrt {k_{-2}}}}}\sin \varphi _{-2}^{L}+k_{-3}{\tfrac {k}{2{\sqrt {k_{-1}}}}}{\tfrac {k_{-1}}{2{\sqrt {k_{-2}}}}}{\tfrac {k_{-2}}{2{\sqrt {k_{-3}}}}}\sin \varphi _{-3}^{L}+\cdots \\&=\left[1-k\left({\tfrac {k}{2}}+{\tfrac {k\,k_{-1}}{4}}+{\tfrac {k\,k_{-1}k_{-2}}{8}}+{\tfrac {k\,k_{-1}k_{-2}k_{-3}}{16}}+\cdots \right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+k\left[{\tfrac {\sqrt {k_{-1}}}{2}}\sin \varphi _{-1}^{L}+{\tfrac {\sqrt {k_{-1}k_{-2}}}{4}}\sin \varphi _{-2}^{L}+{\tfrac {\sqrt {k_{-1}k_{-2}k_{-3}}}{8}}\sin \varphi _{-3}^{L}+\cdots \right]\\&=\left[1-k\left(\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{i=0}^{n}{\frac {k_{-i}}{2^{n}}}\right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+k\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}{2^{n}}}\sin \varphi _{-n}^{L}\end{aligned}}

L'intégrale elliptique complète de deuxième espèce est[A 3] :

E\left(k\right)=\left[1-k\left(\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{i=0}^{n}{\frac {k_{-i}}{2^{n}}}\right)\right]K\left(k\right)

Moyenne arithmético-géométrique

On remarque une formule de Gauss :

F\left(a,b,\pi /2\right)={\frac {1}{2}}F\left(a_{-1},b_{-1},\pi \right)=F\left(a_{-1},b_{-1},\pi /2\right)=F\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}},\pi /2\right)

Donc, on a :

F\left(a,b,\pi /2\right)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (a,b)}}={\frac {1}{a}}K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)\Leftrightarrow \operatorname {AGM} (a,b)={\frac {\pi a}{2K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)}}={\frac {\pi \left(a+b\right)}{4K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}

En opérant $a\rightarrow 1$ et $b\rightarrow k$ , on a :

K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1,k')}}={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1+k,1-k)}}

Transformation de Gauss

On a aussi une transformation de Gauss des intégrales elliptiques de deuxième espèce[11].

E\left(\varphi _{n+1}^{G},k_{n+1}\right)=\left(1+k_{n+1}'\right)E\left(\varphi _{n}^{G},k_{n}\right)-k_{n+1}'F\left(\varphi _{n+1}^{G},k_{n+1}\right)+\left(1-{\sqrt {1-k_{n+1}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n+1}}}\right)\cot \varphi _{n+1}

ce qui donne :

E\left(\varphi _{n}^{G},k_{n}\right)=\left(1+k_{n}'\right)E\left(\varphi _{n-1}^{G},k_{n-1}\right)-k_{n}'F\left(\varphi _{n}^{G},k_{n}\right)+\left(1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n}}}\right)\cot \varphi _{n}

Transformations de Landen des intégrales elliptiques de troisième espèce

On a aussi une transformation de Landen et de Gauss des intégrales elliptiques de troisième espèce[12]^,[11].

Transformation de Landen des fonctions elliptiques jacobiennes

Le module elliptique initial est $0<k<1$ . La transformée de Landen croissante augmente le paramètre et la transformée de Landen décroissante diminue le paramètre. En répétant la transformation de Landen croissante, le paramètre converge vers 1 et la fonction elliptique se rapproche d'une fonction hyperbolique. En répétant la transformation de Landen décroissante, le paramètre converge vers 0 et la fonction elliptique se rapproche d'une fonction trigonométrique. Cette propriété rend la transformée de Landen utile pour les calculs numériques de fonctions elliptiques. On utilise ici la transformation de Landen pour la transformation croissante des fonctions elliptiques jacobiennes et la transformation de Gauss pour leur transformation décroissante.

Démonstration de la transformation croissante

\operatorname {sn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\operatorname {sn} \left(u_{n+1},k_{n+1}\right)\operatorname {cn} \left(u_{n+1},k_{n+1}\right)}{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n+1},k_{n+1}\right)}}}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}

\operatorname {cn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}={\frac {1-{\tfrac {2}{1+k_{n}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)-{\tfrac {1-k_{n}}{1+k_{n}}}}{{\tfrac {2k_{n}}{1+k_{n}}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}

\operatorname {dn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\sqrt {1-k_{n}^{2}\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}={\frac {1-{\tfrac {2k_{n}}{1+k_{n}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)+{\tfrac {1-k_{n}}{1+k_{n}}}}{{\tfrac {2}{1+k_{n}}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}

Démonstration de la transformation décroissante

En opérant les transformations $u_{n}\rightarrow {\frac {u_{n}}{1+k_{n}}}$ et $k_{n}\rightarrow {\frac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}$ au sein de $\operatorname {sn} \left[(1+k_{n})u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right]=\operatorname {sn} \left(u_{n+1},k_{n+1}\right)={\frac {\left(1+k_{n}\right)\operatorname {sn} \left(u_{n},k_{n}\right)}{1+k_{n}\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}$ , on a :

\operatorname {sn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\frac {{\tfrac {2}{1+k_{n}'}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k_{n}'}{2}}u_{n},{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\right)}{1+{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}'}{2}}u_{n},{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\right)}}

\operatorname {cn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}={\frac {\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k_{n}'}{2}}u_{n},{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\right)\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}'}{2}}u_{n},{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\right)}{1+{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}'}{2}}u_{n},{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\right)}}

\operatorname {dn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\sqrt {1-k_{n}^{2}\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}={\frac {1-{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}'}{2}}u_{n},{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\right)}{1+{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}'}{2}}u_{n},{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\right)}}={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}'}{2}}u_{n},{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\right)-{\tfrac {2k_{n}'}{1+k_{n}'}}}{{\tfrac {2}{1+k_{n}'}}-\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}'}{2}}u_{n},{\tfrac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}\right)}}

Conversion de nombres imaginaires

La transformation de Landen croissante et la transformation de Landen décroissante sont alternées par la transformation imaginaire.

\operatorname {sn} \left(\mathrm {i} u,k'\right)=\mathrm {i} \operatorname {sc} \left(u,k\right)={\frac {\mathrm {i} \operatorname {sn} \left(u,k\right)}{\operatorname {cn} \left(u,k\right)}}

[A 4]

En utilisant la transformation de Landen croissante, on a :

{\frac {\mathrm {i} \operatorname {sn} \left(u,k\right)}{\operatorname {cn} \left(u,k\right)}}={\frac {\frac {{\tfrac {2\mathrm {i} }{1+k}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}{\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}}{{\tfrac {2k}{1+k}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}}={\frac {{\tfrac {4\mathrm {i} k}{(1+k)^{2}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}{\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}}}

En utilisant la transformation imaginaire, on a[A 4] :

\operatorname {sn} \left(\mathrm {i} u,k'\right)={\frac {{\tfrac {4k}{(1+k)^{2}}}\operatorname {sc} \left({\tfrac {1+k}{2}}\mathrm {i} u,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)\operatorname {nc} \left({\tfrac {1+k}{2}}\mathrm {i} u,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}{\operatorname {dc} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}\mathrm {i} u,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}}}={\frac {{\tfrac {4k}{(1+k)^{2}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}\mathrm {i} u,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}{\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}\mathrm {i} u,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}\operatorname {cn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}\mathrm {i} u,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}}={\frac {{\tfrac {2}{1+k}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}\mathrm {i} u,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}{1+{\tfrac {1-k}{1+k}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}\mathrm {i} u,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}}

En opérant $\mathrm {i} u\rightarrow u$ et $k'\rightarrow k$ , on a :

{\begin{aligned}\operatorname {sn} \left(u,k\right)&={\frac {{\tfrac {2}{1+k'}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k'}{2}}u,{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\right)}{1+{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k'}{2}}u,{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\right)}}\end{aligned}}

Il s'agit d'une transformation de Landen décroissante.

Transformations de degré supérieur

Les transformations de modules suivantes peuvent être effectuées à l'aide des Amplitudinis Sine et des Amplitudinis Delta :

{\begin{aligned}K(k)&={\frac {3\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k),k\right]}{2-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k),k\right]}}K\left(k^{3}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k),k\right]^{4}\right)\\&={\frac {5}{1+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k),k\right]+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k),k\right]}}K\left(k^{5}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{5}}K(k),k\right]^{4}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {3}{5}}K(k),k\right]^{4}\right)\\&={\frac {7}{1+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{7}}K(k),k\right]+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {4}{7}}K(k),k\right]+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {6}{7}}K(k),k\right]}}K\left(k^{7}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{7}}K(k),k\right]^{4}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {3}{7}}K(k),k\right]^{4}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {5}{7}}K(k),k\right]^{4}\right)\end{aligned}}

Ici, la fonction sinus de Jacobi $\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k),k\right]$ est solution de l'équation $k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0$ .

Globalement, la formule suivante s'applique à toutes les valeurs $n\in \mathbb {N}$ et $0\leqslant k\leqslant 1$ [13] :

K(k)={\frac {n}{\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K(k),k\right]}}K\left(k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left[{\frac {2a-1}{n}}K(k),k\right]^{2}\right)

F\left(\arctan x,k\right)={\frac {1}{\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K(k),k\right]}}F\left(\sum _{a=1}^{n}\arctan \left\{\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K(k),k\right]x\right\},k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left[{\frac {2a-1}{n}}K(k),k\right]^{2}\right)

Deux exemples de la transformation du troisième degré susmentionnée sont présentés ci-dessous :

$\left({\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right)^{2}\left({\color {navy}{\tfrac {2}{3}}}\right)^{4}-2\left({\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right)^{2}\left({\color {navy}{\tfrac {2}{3}}}\right)^{3}+2\left({\color {navy}{\tfrac {2}{3}}}\right)-1=0\Leftrightarrow x=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K\left({\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right),{\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right]={\color {navy}{\tfrac {2}{3}}}$ $K\left({\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right)={\frac {3\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K\left({\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right),{\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right]}{2-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K\left({\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right),{\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right]}}\;K\left\{k^{3}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K\left({\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right),{\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right]^{4}\right\}={\tfrac {3}{2}}K\left[\left({\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right)^{3}\left({\color {navy}{\tfrac {2}{3}}}\right)^{4}\right]={\tfrac {3}{2}}K\left({\tfrac {\sqrt {6}}{16}}\right)$

$\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right)^{2}\left({\color {navy}{\tfrac {4}{5}}}\right)^{4}-2\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right)^{2}\left({\color {navy}{\tfrac {4}{5}}}\right)^{3}+2\left({\color {navy}{\tfrac {4}{5}}}\right)-1=0\Leftrightarrow x=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right),\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right)\right]={\color {navy}{\tfrac {4}{5}}}$ $K\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right)={\frac {3\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right),{\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right]}{2-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right),{\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right]}}\;K\left\{k^{3}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right),{\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right]^{4}\right\}=2K\left[\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}\right)^{3}\left({\color {navy}{\tfrac {4}{5}}}\right)^{4}\right]=2K\left({\tfrac {\sqrt {10}}{8}}\right)$

En les comparant selon un motif en forme de X, des modules elliptiques complémentaires de Pythagore deviennent visibles des deux côtés de l'échelle de l'équation :

$K\left({\color {limegreen}{\tfrac {3{\sqrt {6}}}{8}}}\right)={\tfrac {3}{2}}K\left({\color {navy}{\tfrac {\sqrt {6}}{16}}}\right)$ $K\left({\color {navy}{\tfrac {5{\sqrt {10}}}{16}}}\right)=2K\left({\color {limegreen}{\tfrac {\sqrt {10}}{8}}}\right)$

Les modules de même couleur sont complémentaires les uns des autres en termes pythagoriciens.

Récapitulatif

Modules parent et enfant

Modules parent et enfant
$k_{n+1}={\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}={\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k_{n}'^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}'^{2}}}}}$	$k_{n+1}'={\frac {1-k_{n}}{1+k_{n}}}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}'^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}'^{2}}}}}$
$k_{n-1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}={\frac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}}$	$k_{n-1}'={\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}={\frac {2{\sqrt {k_{n}'}}}{1+k_{n}'}}$

Intégrales elliptiques de première espèce

Transformations de Landen des intégrales elliptiques incomplètes de première espèce
	Transformation croissante	Transformation décroissante
Landen	$\textstyle F\left(\varphi ,k\right)={\frac {2}{1+k}}F\left(\arcsin {\sqrt {\frac {1+k\sin ^{2}\varphi -\cos \varphi {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}{2}}},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)$	$\textstyle F\left(\varphi ,k\right)={\frac {1}{1+k'}}F\left(\arccos {\frac {1-\left(1+k'\right)\sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},{\frac {1-k'}{1+k'}}\right)$
Gauss	$\textstyle F\left(\varphi ,k\right)={\frac {1}{1+k}}F\left(\arcsin {\frac {(1+k)\sin \varphi }{1+k\sin ^{2}\varphi }},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)$	$\textstyle F\left(\varphi ,k\right)={\frac {2}{1+k'}}F\left(\arcsin {\frac {\left(1+k'\right)\sin \varphi }{1+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}},{\frac {1-k'}{1+k'}}\right)$

F\left(\varphi ,k\right)=\ln \tan \left({\frac {\varphi _{\infty }^{L}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}=\ln \tan \left({\frac {\varphi _{\infty }^{L}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\sqrt {\prod _{n=0}^{\infty }k_{n}}}{k}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi _{-n}^{L}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1+k_{-i}}{2}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi _{-n}^{L}{\frac {k_{-n}}{k{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}}}

F\left(\varphi ,k\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\ln \tan \left({\frac {\varphi _{n}^{G}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\prod _{i=0}^{n}{\frac {1}{1+k_{i}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\ln \tan \left({\frac {\varphi _{n}^{G}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\sqrt {\prod _{i=0}^{n}k_{n}}}{2^{n}k}}=\varphi _{-\infty }^{G}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+k_{-n}\right)=\varphi _{-\infty }^{G}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{n}k_{-n}}{k{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}}}

Transformations de Landen des intégrales elliptiques complètes de première espèce
	Transformation croissante	Transformation décroissante
Landen	$\textstyle K\left(k\right)={\frac {2}{1+k}}F\left(\arcsin {\sqrt {\frac {1+k}{2}}},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)$	$\textstyle K\left(k\right)={\frac {2}{1+k'}}K\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)$
Gauss	$\textstyle K\left(k\right)={\frac {1}{1+k}}K\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)$	$\textstyle K\left(k\right)={\frac {2}{1+k'}}K\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)$

Représentation par produit infini
	Transformation décroissante
Gauss	$K(k)={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{-n}'}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+k_{-n}\right)$

Quotient $K'/K$
${\frac {K\left(k'_{n}\right)}{K\left(k_{n}\right)}}=2{\frac {K\left(k_{n+1}'\right)}{K\left(k_{n+1}\right)}}$

Intégrales elliptiques de deuxième espèce

Transformations de Landen des intégrales elliptiques incomplètes de deuxième espèce
	Transformation décroissante
Landen	$\textstyle E\left(\varphi ,k\right)={\frac {1+k'}{2}}E\left(\arccos {\frac {1-\left(1+k'\right)\sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},{\frac {1-k'}{1+k'}}\right)-{\frac {k'}{1+k'}}F\left(\arccos {\frac {1-\left(1+k'\right)\sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},{\frac {1-k'}{1+k'}}\right)+{\frac {k^{2}\sin \left(2\varphi \right)}{4{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$

E\left(\varphi ,k\right)=\left[1-{\frac {k^{2}}{2}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{-i}}{2^{n}}}\right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+k\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}{2^{n}}}\sin \varphi _{-n}^{L}

Transformations de Landen des intégrales elliptiques complètes de deuxième espèce
	Transformation décroissante
Landen	$\textstyle E\left(k\right)=\left(1+k'\right)E\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)-{\frac {2k'}{1+k'}}K\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)$

Fonctions elliptiques jacobiennes de base

Transformations de Landen d'une fonction elliptique
Transformation croissante (Landen)	Transformation décroissante (Gauss)
$\operatorname {sn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {2}{1+k}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}$	$\operatorname {sn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {2}{1+k'}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k'}{2}}u,{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\right)}{1+{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k'}{2}}u,{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\right)}}$
$\operatorname {cn} \left(u,k\right)={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}}{{\tfrac {2k}{1+k}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}$	$\operatorname {cn} \left(u,k\right)={\frac {\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k'}{2}}u,{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\right)\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k'}{2}}u,{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\right)}{1+{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k'}{2}}u,{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\right)}}$
$\operatorname {dn} \left(u,k\right)={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)+{\tfrac {1-k}{1+k}}}{{\tfrac {2}{1+k}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}$	$\operatorname {dn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {1-k'}{1+k'}}-\left[1-\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k'}{2}}u,{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\right)\right]}{{\tfrac {1-k'}{1+k'}}+\left[1-\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k'}{2}}u,{\tfrac {1-k'}{1+k'}}\right)\right]}}$

Références

(ja) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en japonais intitulé « ランデン変換 » (voir la liste des auteurs).
(no) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en norvégien intitulé « Landens_transformasjon » (voir la liste des auteurs).
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Landen's_transformation » (voir la liste des auteurs).
(ru) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en russe intitulé « Преобразование_Ландена » (voir la liste des auteurs).
(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Elliptische_Integrale » (voir la liste des auteurs).

A : Elliptic Integrals - Harris Hancock, John Wiley & Sons, New York (1917)

Autres références :

An investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs with some other new and useful theorems deduced therefrom DOI 10.1098/rstl.1775.0028
C. F. Gauss et Nachlass, « Arithmetisch geometrisches Mittel, Werke, Bd. 3 », Königlichen Gesell. Wiss., Göttingen,‎ 1876, p. 361–403
(en) G.M. Scarpello, D. Ritelli et A. Scimone, The hyperbola rectification from Maclaurin to Landen and the Lagrange-Legendre transformation for the elliptic integrals (lire en ligne)
H. McKean and V. Moll, Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic; Cambridge University Press, Cambridge (1997). (ISBN 0-521-65817-9).
(en) A.L. Baker, Elliptic Functions - An Elementary Textbook for Students of Mathematics, John Wiley & Sons, New York, 1890 (lire en ligne)
M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York (1964). (ISBN 0-486-61272-4).
Ces deux équations sont un travail partiellement inédit, notamment les membres de ces équations qui contiennent $\lim _{n\rightarrow \infty }$ n'apparaissent pas dans les ouvrages. Ces membres-là ne sont peut être pas si utiles.
G.N. Watson, The Marquis and the Land-Agent; A Tale of the Eighteenth Century, Mathematical Gazette 17, 5-17 (1934). Foredrag for the British Mathematical Association, 1933. Gjengitt i J.J. Berggren, J. Borwein and P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, New York (2004). (ISBN 978-1-4419-1915-1).
Elliptic Functions: Landen's Transformation
La démonstration sans $a_{n}$ , $b_{n}$ et $c_{n}$ , mais avec $k_{n}$ paraît plus difficile. Les intégrales de Bulirsch paraissent avoir un avantage. De plus, à notre époque, les formes symétriques de Carlson ont supplanté les formes de Legendre.
Transformations de Landen et de Gauss des intégrales elliptiques des trois espèces (en) « Transformation de Landen », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
Louis V. Osmania University et Digital Library Of India, On The Numerical, At The University Press, 1924 (lire en ligne)
Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, frères Borwein

Liens externes

Ouvrages consultables en ligne :
- soit Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, 1825 (lire en ligne)
soit Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, 1825 (lire en ligne)
- (en) Harris Hancock, Elliptic integrals, 1917 (lire en ligne)
- (en) Louis V. King, On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals, Cambridge University Press, 1924 (lire en ligne)
- (en) Arthur Cayley, An elementary treatise on elliptic functions, 1876 (lire en ligne)
- (en) Arthur L. Baker, Elliptic Functions, 1890 (lire en ligne)
- (en) L.M. Milne-Thomson, Jacobian Elliptic Functions Tables, 1950 (lire en ligne)
- [PDF] (en) Louis Melville Milne-Thomson (en), Jacobian Elliptic Function Tables, Dover Publications (lire en ligne)
Autres liens :
- (en) Eric W. Weisstein, « Landen's Transformation », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Transformation », sur MathWorld
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
- (en) « Transformation de Landen », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
- (en) « Elliptic Functions: Landen's Transformation », sur Paramanand's Math Notes
- (en) Gert Almkvist et Bruce Berndt, « Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary », The American Mathematical Monthly, vol. 95,‎ 1988, p. 585-608 (DOI 10.1080/00029890.1988.11972055)
- (en) Granino Korn et Theresa Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw Hill Higher Education, 1967 (ISBN 978-0070353701)

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[8] 68

[11] 74

[13] 80

[page_29-16] 29

[1] An investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs with some other new and useful theorems deduced therefrom DOI 10.1098/rstl.1775.0028

[2] C. F. Gauss et Nachlass, « Arithmetisch geometrisches Mittel, Werke, Bd. 3 », Königlichen Gesell. Wiss., Göttingen,‎ 1876, p. 361–403

[Italians-3] (en) G.M. Scarpello, D. Ritelli et A. Scimone, The hyperbola rectification from Maclaurin to Landen and the Lagrange-Legendre transformation for the elliptic integrals (lire en ligne)

[Moll-4] H. McKean and V. Moll, Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic; Cambridge University Press, Cambridge (1997). (ISBN 0-521-65817-9).

[Baker-5] (en) A.L. Baker, Elliptic Functions - An Elementary Textbook for Students of Mathematics, John Wiley & Sons, New York, 1890 (lire en ligne)

[AS-6] M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York (1964). (ISBN 0-486-61272-4).

[note1-7] Ces deux équations sont un travail partiellement inédit, notamment les membres de ces équations qui contiennent $\lim _{n\rightarrow \infty }$ n'apparaissent pas dans les ouvrages. Ces membres-là ne sont peut être pas si utiles.

[9] G.N. Watson, The Marquis and the Land-Agent; A Tale of the Eighteenth Century, Mathematical Gazette 17, 5-17 (1934). Foredrag for the British Mathematical Association, 1933. Gjengitt i J.J. Berggren, J. Borwein and P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, New York (2004). (ISBN 978-1-4419-1915-1).

[10] Elliptic Functions: Landen's Transformation

[12] La démonstration sans $a_{n}$ , $b_{n}$ et $c_{n}$ , mais avec $k_{n}$ paraît plus difficile. Les intégrales de Bulirsch paraissent avoir un avantage. De plus, à notre époque, les formes symétriques de Carlson ont supplanté les formes de Legendre.

[DLMF-14] Transformations de Landen et de Gauss des intégrales elliptiques des trois espèces (en) « Transformation de Landen », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

[15] Louis V. Osmania University et Digital Library Of India, On The Numerical, At The University Press, 1924 (lire en ligne)

[17] Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, frères Borwein