Théorème de Motzkin

En géométrie euclidienne, le théorème de Motzkin[1] offre une caractérisation de la convexité d'une partie fermée non vide d'un espace euclidien par l'existence d'une projection unique.

Énoncé

Théorème de Motzkin — Soient E un espace euclidien et C une partie de E.

Si, pour tout point M de E, il existe un unique point M' de C tel que MM' = d(M, C), alors la partie C est un convexe de E.

Une partie C vérifiant l'hypothèse du théorème est appelée un ensemble de Tchebychev ; il est immédiat qu'un tel C est non vide et fermé[2].

Notes et références
  1. Patrice Tauvel, Géométrie, Dunod, p. 78.
  2. (en) Victor Klee, « Convexity of Chebyshev sets », Math. Ann., vol. 142, no 3,‎ , p. 292-304 (lire en ligne)

Bibliographie

Sur le problème ouvert analogue dans les espaces de Hilbert :

  • (en) Edgar Asplund, « Čebyšev sets in Hilbert space », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 144,‎ , p. 235-240 (lire en ligne)
  • (en) Frank Deutsch, « The Convexity of Chebyshev Sets in Hilbert Space », dans T. M. Rassias (en), H. M. Srivastava et A. Yanushauskas, Topics in Polynomials of One and Several Variables and Their Applications : Volume Dedicated to the Memory of P.L. Chebyshev (1821-1894), World Scientific, (ISBN 978-9-81020614-7, lire en ligne), p. 143-150
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