Processus de Poisson composé

Fixons ${\displaystyle t}$ et montrons que ${\displaystyle Z_{t}}$ est intégrable.

${\displaystyle \mathbb {E} (|Z_{t}|)=\sum _{n\geq 1}\int 1\!\!1_{N_{t}=n}\left|\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right|d\mathbb {P} \leq \sum _{n\geq 1}\mathbb {E} \left(1\!\!1_{N_{t}=n}\sum _{k=1}^{n}|Y_{k}|\right)}$.

Mais ${\displaystyle 1\!\!1_{N_{t}=n}}$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|Y_{k}|}$ sont indépendants, d'où

${\displaystyle \mathbb {E} (|Z_{t}|)\leq \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (N_{t}=n)\mathbb {E} \left(\sum _{k=1}^{n}|Y_{k}|\right)\leq \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (N_{t}=n)n\mathbb {E} (|Y_{1}|)\leq \mathbb {E} (N_{t})\mathbb {E} (|Y_{1}|)}$.

Or ${\displaystyle N_{t}}$ suit une loi de Poisson de paramètre ${\displaystyle \lambda t}$, d'où ${\displaystyle \mathbb {E} (|Z_{t}|)<\lambda t\mathbb {E} (|Y_{1}|)<+\infty }$.

De la même façon et en utilisant le Théorème de convergence dominée, on peut montrer cette fois que ${\displaystyle \mathbb {E} (Z_{t})=\lambda t\mathbb {E} (Y_{1})}$.

Fixons ${\displaystyle t}$. On conditionne par le système complet d'événements ${\displaystyle \{N_{t}=n\}}$ pour montre que ${\displaystyle Z_{t}}$ possède un moment d'ordre 2.

${\displaystyle \mathbb {E} (|Z_{t}|^{2})=\sum _{n\geq 1}\mathbb {E} \left(\left|\sum _{k=1}^{N_{t}}Y_{k}\right|^{2}\,{\bigg |}N_{t}=n\right)\mathbb {P} (N_{t}=n)}$.

Par indépendance de processus ${\displaystyle (N_{t})_{t}}$ avec la suite ${\displaystyle (Y_{i})_{i}}$,

${\displaystyle \mathbb {E} \left(\left|\sum _{k=1}^{N_{t}}Y_{k}\right|^{2}\,{\bigg |}N_{t}=n\right)=\mathbb {E} (|\sum _{k=1}^{n}Y_{k}|^{2})}$.

Ainsi

${\displaystyle \mathbb {E} \left(|Z_{t}|^{2}\right)=\sum _{n\geq 1}\mathbb {E} \left(\left|\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right|^{2}\right)\mathbb {P} (N_{t}=n)\leq \sum _{n\geq 1}\mathbb {E} \left(\sum _{k=1}^{n}|Y_{k}|^{2}\right)\mathbb {P} (N_{t}=n)}$

On a alors

${\displaystyle \mathbb {E} (|Z_{t}|^{2})\leq \sum _{n\geq 1}(n\mathrm {Var} (|Y_{1}|)+(n\mathbb {E} (|Y_{1}|))^{2})\mathbb {P} (N_{t}=n)\leq \mathbb {E} (N_{t})\mathrm {Var} (|Y_{1}|)+\mathbb {E} (N_{t}^{2})\mathbb {E} (|Y_{1}|)^{2}}$

${\displaystyle (Z_{t})_{t}}$ est donc de carré intégrable. Il faut donc maintenant exprimer ${\displaystyle \mathbb {E} (Z_{t}^{2})}$.

${\displaystyle \mathbb {E} (Z_{t}^{2})=\sum _{n\geq 1}\mathbb {E} (Z_{t}^{2}|N_{t}=n)\mathbb {P} (N_{t}=n)=\mathbb {E} (N_{t})\mathrm {Var} (Y_{1})+\mathbb {E} (N_{t}^{2})(\mathbb {E} (Y_{1}))^{2}}$

D'où

${\displaystyle \mathrm {Var} (Z_{t})=\mathbb {E} (N_{t})\mathrm {Var} (Y_{1})+\mathrm {Var} (N_{t})(\mathbb {E} (Y_{1}))^{2}=\lambda t\mathbb {E} (Y_{1}^{2}).}$

D'après la loi des grands nombres sur ${\displaystyle (N_{t})_{t}}$, on a ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }{\dfrac {N_{t}}{t}}=\lambda }$. D'où ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }N_{t}=+\infty }$ presque sûrement.

${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{N}}$ sont i.i.d. et de carré intégrable. d'après la loi gforte des grands nombres pour les ${\displaystyle (Y_{i})_{i}}$ on a

${\displaystyle {\dfrac {\sum _{i=1}^{N}Y_{i}}{N}}{\underset {N\to +\infty }{\longrightarrow }}\mathbb {E} (Y_{1}).}$

Comme ${\displaystyle N_{t}}$ tend presque sûrement vers ${\displaystyle +\infty }$, on a le résultat.

Par définition de la fonction caractéristique et par la formule de la formule de l'espérance totale, on a

${\displaystyle \Phi _{Z_{t}}(\xi )=\sum _{n\geq 0}\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi Z_{t}}|N_{t}=n)\mathbb {P} (N_{t}=n)=\sum _{n\geq 0}\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=0}^{N_{t}}Y_{j}}{\bigg |}N_{t}=n\right)\mathbb {P} (N_{t}=n)}$

Et par indépendance entre le processus ${\displaystyle (N_{t})_{t}}$ et la suite de variables aléatoires ${\displaystyle (Y_{j})_{j}}$, on a que ${\displaystyle \mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=0}^{N_{t}}Y_{j}}|N_{t}=n)=\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=1}^{n}Y_{j}}).}$ D'où

${\displaystyle \Phi _{Z_{t}}(\xi )=\sum _{n\geq 0}\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=1}^{n}Y_{j}})\mathrm {e} ^{-\lambda t}{\dfrac {(\lambda t)^{n}}{n!}}.}$

Et par indépendance entre les ${\displaystyle Y_{j}}$, on a ${\displaystyle \mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=1}^{n}Y_{j}})=\Phi _{Y_{1}}(\xi )^{n}}$. On a donc

${\displaystyle \Phi _{Z_{t}}(\xi )=\mathrm {e} ^{-\lambda t}\sum _{n\geq 0}(\Phi _{Y_{1}}(\xi ))^{n}{\dfrac {(\lambda t)^{n}}{n!}}=\mathrm {e} ^{\lambda t(\Phi _{Y_{1}}(\xi )-1)}.}$

On utilise la fonction caractéristique de ${\displaystyle (Z_{t})_{t}}$ et on fait un développement limité de ${\displaystyle \Phi _{Y_{1}}}$, au voisinage de 0 (ce qui revient à faire tendre t vers l'infini). On reconnaitra la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant une loi Normale. on conclut alors par théorème de continuité de Paul-Levy