Polynômes orthogonaux multiples

Les polynômes de type 1 sont notés comme ${\displaystyle A_{{\vec {n}},j}}$ pour ${\displaystyle j=1,2,\dots ,r}$ et écrits comme a vecteur ${\displaystyle (A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r})}$, où le ${\displaystyle j}$ème polynôme ${\displaystyle A_{{\vec {n}},j}}$ peut être au plus de degré ${\displaystyle n_{j}-1}$. De plus, ils doivent vérifier :

${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{k}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,|{\vec {n}}|-2,}$

et

${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{|{\vec {n}}|-1}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=1.}$

On a donc un système d'équations ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ pour les ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ coefficients des polynômes ${\displaystyle A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r}}$ défini.

Un polynôme ${\displaystyle P_{\vec {n}}(x)}$ est de type 2 s'il est monique et de degré ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ et le critère d'orthogonalité suivant est rempli :

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{j}-1,\qquad j=1,\dots ,r.}$

Si nous écrivons toutes les équations ${\displaystyle j=1,\dots ,r}$, nous obtenons la définition suivante du POM de type 2

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{1}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{1}-1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{2}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{2}-1}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{r}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{r}-1}$