Polynôme de Shapiro

En analyse de Fourier, les polynômes de Shapiro, étudiés par Harold S. Shapiro en 1951, sont des polynômes ${\displaystyle P_{n}(z)}$ et ${\displaystyle Q_{n}(z)}$ définis par la relation de récurrence :

${\displaystyle P_{0}(z)=Q_{0}(z)=1}$

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z)}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z)}$

Zéros du polynôme de degré 255

Ces polynômes vérifient la propriété :

${\displaystyle |P_{n}(z)|^{2}+|Q_{n}(z)|^{2}=2^{n+1}}$

pour z sur le cercle unité.

Ces polynômes ont des applications en traitement du signal.