Nombre icosaédrique

On obtient ${\displaystyle I_{n}}$ à partir de la relation : ${\displaystyle I_{n}-I_{n-1}=(S-1)+(A-q)(n-2)+(F-q)(P_{m,n}-m(n-1))}$,

où ${\displaystyle S=12,A=30,F=20}$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'icosaèdre, ${\displaystyle \{m,q\}=\{3,5\}}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et ${\displaystyle P_{m,n}}$ le nombre m-gonal d'ordre n [2].

On obtient donc ${\displaystyle I_{n}-I_{n-1}=(12-1)+(30-5)(n-2)+(20-5)(n(n+1)/2-3(n-1))={\frac {15n^{2}-25n+12}{2}}}$.

D'où ${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{2}}\left(15{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-25{\frac {n(n+1)}{2}}+12n\right)={n(5n^{2}-5n+2) \over 2}}$.

• Nombre dodécaédrique
• Nombre icosaédrique centré

• Arithmétique et théorie des nombres