Matrices de Gell-Mann

Les matrices de Gell-Mann, nommées d'après Murray Gell-Mann (1929-2019), sont, en physique des particules, un ensemble de huit matrices 3 x 3 hermitiennes et de trace nulle qui forment une représentation des générateurs du groupe SU(3).

Elles sont notées ${\displaystyle \lambda _{a}}$ et sont par convention données par les huit matrices suivantes :

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-{\rm {i}}&0\\{\rm {i}}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-{\rm {i}}\\0&0&0\\{\rm {i}}&0&0\end{pmatrix}},}$
${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-{\rm {i}}\\0&{\rm {i}}&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}$

Elles vérifient les relations suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Tr} \left(\lambda _{a}\lambda _{b}\right)&=2\,\delta _{ab}\\\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2{\rm {i}}\,f_{abc}\lambda _{c}\end{aligned}}}$

où :

• ${\displaystyle \delta }$ est le symbole de Kronecker,
• ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$ est la trace,
• ${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}$ est le commutateur,
• ${\displaystyle {\rm {i}}}$ est l'unité imaginaire ${\displaystyle \left({\rm {i}}^{2}=-1\right)}$
• sur un indice double (ici ${\displaystyle c}$), une sommation est à effectuer (convention d'Einstein).

La première relation exprime que les matrices sont orthogonales et normées. La deuxième avec le commutateur contient les constantes de structure dont les valeurs sont :

• ${\displaystyle f_{123}=1}$,
• ${\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}}$,

et

• ${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

A noter que ${\displaystyle f_{abc}}$ est totalement antisymétrique par rapport aux trois indices, donc p.ex., ${\displaystyle f_{123}=-f_{132}=f_{231}}$.