Heptadécagone

Un heptadécagone régulier est un heptadécagone dont les 17 côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a huit : sept étoilés (les heptadécagrammes notés {17/k} pour k de 2 à 8) et un convexe (noté {17}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'heptadécagone régulier ».

L'heptadécagone régulier et ses angles remarquables.

• Les sept heptadécagones réguliers étoilés
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  {17/2}
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  {17/3}
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  {17/4}
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  {17/5}
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  {17/6}
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  {17/7}
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  {17/8}

Étapes (64) de construction à la règle et au compas de l'heptadécagone par Gauss.

L'annonce de la construction à la règle et au compas de l'heptadécagone régulier a été faite par Carl Friedrich Gauss en 1796, et seulement dans un court article, Neue Entdeckungen, paru au numéro 66, du 1^er juin 1796, de l'Intelligenzblatt der Allgemeinen Literatur-Zeitung de Iéna. Il fallut attendre cinq ans encore, avec la publication de ses Disquisitiones arithmeticae, pour découvrir la substance de cette construction (à l'article « Theorie von grösserem Umfange », en fin d'ouvrage).

Le sinus et le cosinus de l'angle ${\displaystyle {\frac {\pi }{17}}}$ sont respectivement égaux à :

• ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-{\sqrt {2\left(15+{\sqrt {17}}-{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {2\left(34+6{\sqrt {17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}-{\sqrt {34(17-{\sqrt {17}})}}+8{\sqrt {2(17+{\sqrt {17}})}}\right)}}\right)}}}}}$ ;
• ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {1-{\sqrt {17}}}{16}}+{\frac {\sqrt {17-{\sqrt {17}}}}{8{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}+{\frac {1-{\sqrt {17}}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {17-{\sqrt {17}}}}+4{\sqrt {2}}{\sqrt {17+{\sqrt {17}}}}}}}$.

{{Démonstration |contenu=

Par définition, le problème de la construction de l'heptadécagone régulier revient à chercher les racines complexes du polynôme

${\displaystyle {\frac {x^{17}-1}{x-1}}=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.}$

On note α = 2π/17, puis on pose ω₁₇ = exp(iα), et ω_k = ωk
17, pour k entre 1 et 16, qui sont donc les racines recherchées. On va construire des sommes de ces racines à partir de périodes qui forment les racines de polynômes du second degré[1]. On considère le tableau suivant, qui donne la valeur de, pour m entre 0 et 15, de 3^m modulo 17 :

{{| class="wikitable centre" |- ! scope="row" | ${\displaystyle m}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |- ! scope="row" | ${\displaystyle \vartheta (m)\equiv 3^{m}\mod 17}$ | 1 | 3 | 9 | 10 | 13 | 5 | 15 | 11 | 16 | 14 | 8 | 7 | 4 | 12 | 2 | 6 |- |}}

On utilise la congruence modulo 3 car 3 est une racine primitive de 17.

On pose donc les sommes :

${\displaystyle X_{1}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m{\textrm {pair}}}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{1}+\omega _{9}+\omega _{13}+\omega _{15}+\omega _{16}+\omega _{8}+\omega _{4}+\omega _{2}}$

${\displaystyle X_{2}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m{\textrm {impair}}}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{3}+\omega _{10}+\omega _{5}+\omega _{11}+\omega _{14}+\omega _{7}+\omega _{12}+\omega _{6}}$

${\displaystyle Y_{1}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 0\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{1}+\omega _{13}+\omega _{16}+\omega _{4}}$

${\displaystyle Y_{2}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 2\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{9}+\omega _{15}+\omega _{8}+\omega _{2}}$

${\displaystyle Y_{3}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 1\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{3}+\omega _{5}+\omega _{14}+\omega _{12}}$

${\displaystyle Y_{4}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 3\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{10}+\omega _{11}+\omega _{7}+\omega _{6}}$

Par les propriétés de symétrie, on peut observer que :

${\displaystyle X_{1}=2(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha ),\ X_{2}=2(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )}$

${\displaystyle Y_{1}=2(\cos \alpha +\cos 4\alpha ),\ Y_{2}=2(\cos 8\alpha +\cos 2\alpha )}$

${\displaystyle Y_{3}=2(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha ),\ Y_{4}=2(\cos 7\alpha +\cos 6\alpha )}$

On peut remarquer, par les identités trigonométriques usuelles, que :

${\displaystyle X_{1}+X_{2}=\sum _{k=1}^{16}\omega _{k}=\sum _{k=1}^{8}2\cos k\alpha =-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}X_{1}X_{2}&=&4(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )\\&=&4(\cos \alpha \cos 3\alpha +\cos \alpha \cos 7\alpha +\cos \alpha \cos 5\alpha +\cos \alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 8\alpha \cos 3\alpha +\cos 8\alpha \cos 7\alpha +\cos 8\alpha \cos 5\alpha +\cos 8\alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 4\alpha \cos 3\alpha +\cos 4\alpha \cos 7\alpha +\cos 4\alpha \cos 5\alpha +\cos 4\alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 2\alpha \cos 3\alpha +\cos 2\alpha \cos 7\alpha +\cos 2\alpha \cos 5\alpha +\cos 2\alpha \cos 6\alpha )\\&=&2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\&&+(\cos 11\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 15\alpha +\cos \alpha )+(\cos 13\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 14\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 11\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 9\alpha +\cos \alpha )+(\cos 10\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 9\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\&=&2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\&&+(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 2\alpha +\cos \alpha )+(\cos 4\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 3\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos \alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\&=&8\sum _{k=1}^{8}\cos k\alpha \\&=&-4.\end{array}}}$

Ainsi, X₁ et X₂ sont les deux racines de X² + X – 4 = 0, et une étude rapide de signe montre que X₁ est la racine positive, et X₁ > X₂.

De même, on peut montrer que Y₁ et Y₂ sont les deux racines de Y² + X₁Y – 1 = 0, avec Y₁ > Y₂, et que Y₃ et Y₄ sont les deux racines de Y² + X₂Y – 1 = 0, avec Y₃ > Y₄.

Enfin, on peut vérifier que z₁ = 2 cos α = ω1
17 + ω16
17 et z₂ = 2 cos 4α = ω4
17 + ω13
17 sont les deux racines de Z² – Y₁Z + Y₃ = 0, avec z₁ > z₂.

Il suffit dès lors de résoudre les équations du second degré et de ne retenir que les racines adéquates pour obtenir le résultat voulu. }}

On peut déduire des calculs précédents une construction de l'heptadécagone régulier à partir d'un cercle donné de centre O[2]:

• poser A et B sur le cercle tel que ${\displaystyle ({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})={\frac {\pi }{2}}}$
• construire I tel que OI = 1/4OB
• construire E sur [OA] tel que ${\displaystyle ({\overrightarrow {IO}},{\overrightarrow {IE}})={\frac {1}{4}}({\overrightarrow {IO}},{\overrightarrow {IB}})}$
• construire F sur (OA) tel que ${\displaystyle ({\overrightarrow {IF}},{\overrightarrow {IE}})=-{\frac {\pi }{4}}}$
• construire le cercle de diamètre AF, il coupe [OB] en K
• le cercle de centre E et de rayon EK coupe (OA) en N₃ et N₅, avec N₃ sur [OA]
• on construit P₃ et P₅, les projetés de N₃ et N₅ sur le cercle d'origine. Ces deux point sont deux sommets de l'heptadécagone, car ${\displaystyle ON_{3}=\cos(6\pi /17)}$ et ${\displaystyle ON_{5}=\cos(10\pi /17)}$

• (en) Eric W. Weisstein, « Heptadecagon », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles — Pi/17 », sur MathWorld

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