Espace T1
En mathématiques, un espace accessible (ou espace T1, ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation.
Définition
Un espace topologique E est T1 si pour tout couple (x, y) d'éléments de E distincts, il existe un ouvert contenant x et pas y.
Propriétés
Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- E est T1 ;
- E est T0 et R0 ;
- pour tout x de E, le singleton {x} est fermé ;
- tout singleton est l'intersection de ses voisinages ;
- toute partie de E est l'intersection de ses voisinages (ou encore : des ouverts qui la contiennent) ;
- tout sous-ensemble fini de E est fermé ;
- tout sous-ensemble cofini de E est ouvert ;
- pour tout point x, l'ultrafiltre principal en x converge seulement vers x ;
- tout point limite d'une partie de E est point d'accumulation de cette partie.
Exemples
- Tout espace T2 est T1.
- La topologie cofinie sur un ensemble infini est T1 mais pas séparée.
Crédit d'auteurs
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « T1 space » (voir la liste des auteurs).
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