Courbe du dragon

Construction récursive de la courbe

La courbe peut être construite par le L-système défini par :

• angle 90°
• graine FX
• règles :
  • X ${\displaystyle \mapsto }$ X+YF+
  • Y ${\displaystyle \mapsto }$ -FX-Y

Ce qui se traduit simplement comme suit : partir d'un segment de base ; puis en suivant la courbe, remplacer chaque segment par deux segments à angle droit en effectuant une rotation de 45° alternativement à droite puis à gauche :

On visualise ici les 5 premières itérations et la neuvième.

La courbe du dragon est également l'ensemble limite du système de fonctions itérées suivant, dans le plan complexe :

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}}$

(avec comme ensemble de points initial ${\displaystyle S_{0}=\{0;1\}}$).

ou encore, en coordonnées cartésiennes (représentation plus souvent utilisée dans des logiciels tels qu'Apophysis (en)) :

${\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Suivre une itération de la courbe du dragon fait apparaître une suite de rotations à 90° vers la droite ou vers la gauche. Pour les premières itérations, la séquence de « droite » (D) et « gauche » (G) est la suivante :

1^re itération : D

2^e itération : D D G

3^e itération : D D G D D G G

4^e itération : D D G D D G G D D D G G D G G

Empiriquement, on peut observer la règle de construction suivante : on peut construire l'itération suivante en prenant l'itération en cours, ajoutant un D, puis en ajoutant l'itération courante inversée et en intervertissant D et G.

Ce schéma suggère la méthode suivante de modélisation par pliage : prenez une bande de papier et pliez-la en son milieu par la droite. Pliez-la à nouveau par la droite et répétez l'opération autant de fois que possible. Dépliez la bande en conservant les pliures à 90°. La courbe du dragon apparaît.

Ce motif donne également une méthode pour déterminer la direction de la n-ième rotation dans la séquence. Écrivons un entier n sous la forme k2^m où k est un nombre impair. La direction de la n-ième rotation est déterminée par k modulo 4 (reste de la division de k par 4). Si le reste vaut 1 alors la n-ième rotation est « droite », sinon c'est « gauche ».

• En dépit de son aspect irrégulier, la courbe du dragon s’inscrit dans des proportions simples. Ces résultats se déduisent de son mode de construction.

• Sa surface vaut ½ (considérant que le segment de base a pour longueur 1). Ce résultat se déduit de ses propriétés de pavage.
• Sa frontière a une longueur infinie.
• La courbe ne se traverse jamais.
• La courbe du dragon révèle nombre d’auto-similarités. La plus visible est la répétition du même motif après rotation de 45° et réduction de √2.

• Sa dimension de Hausdorff peut être calculée : à chaque itération le nombre de segments double avec un facteur de réduction de √2. La dimension de Hausdorff vaut donc ${\displaystyle {\frac {\log 2}{\log {\sqrt {2}}}}=2}$. Cette courbe couvre donc le plan.
• Sa frontière est une fractale dont la dimension de Hausdorff vaut ${\displaystyle \log _{2}\left({\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\right)\approx }$ 1,5236 (calculée par Chang et Zhang[1]).

• La courbe du dragon peut paver le plan de multiples manières (voir encadré).

Twindragon construite à partir de 2 dragons

Frontière du Twindragon

La twindragon (mot à mot « dragon jumeau », connue également sous le nom de dragon de Davis-Knuth) est une variante de la courbe du dragon qui peut être construite en plaçant deux dragons dos à dos. Cette courbe est la limite de l’IFS suivante :

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {(1+i)z+1-i}{2}}}$.

Courbe Terdragon

La terdragon peut être construite à partir du L-système suivant :

• angle 120°
• graine F
• règle : F ${\displaystyle \mapsto }$ F+F-F

C’est également la limite de l'IFS suivant :

${\displaystyle f_{1}(z)=\lambda z~}$ ;

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda }$ ;

${\displaystyle f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}~}$ ;

${\displaystyle \mathrm {o{\grave {u}}~} \lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\mbox{ et }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.}$

Liste de fractales par dimension de Hausdorff

• (en) Eric W. Weisstein, « Dragon Curve », sur MathWorld
• (en) Paperfolding and the Dragon curve
• Courbe du dragon en Flash

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