Coordonnée de la tortue

La coordonnée de la tortue[2]^,[3]^,[4]^,[N 1] est introduite en 1955 par John A. Wheeler[5]^,[7]^,[8] et reprise en 1957 avec Tullio Regge[5]^,[9]^,[10].

La coordonnée est notée ${\displaystyle r^{*}}$[5]^,[6].

Elle est donnée par[11] :

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{*}&=r+{\frac {2GM}{c^{2}}}\ln \left({\frac {c^{2}r}{2GM}}-1\right)\\&=r+R_{\mathrm {S} }\ln \left({\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}-1\right)\end{aligned}}}$,

où :

• ${\displaystyle r}$ est la coordonnée radiale de Schwarzschild ;
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière ;
• ${\displaystyle M}$ est la masse ;
• ${\displaystyle \ln }$ est le logarithme naturel ;
• ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ est le rayon de Schwarzschild.

Avec ${\displaystyle c=1}$, elle est donnée par[12] :

${\displaystyle r^{*}=r+{2\mu }\ln \left({\frac {r}{2\mu }}-1\right)}$,

où :

• ${\displaystyle \mu =GM}$.

En unités géométriques, elle est donnée par[13]^,[14] :

${\displaystyle r^{*}=r+2m\ln \left({\frac {r}{2m}}-1\right)}$,

où :

${\displaystyle m={\frac {GM}{c^{2}}}}$.