Caractérisation (mathématiques)

En langage mathématique, la caractérisation d'un objet $X$ par une propriété $P$ signifie que d'une part $X$ vérifie $P$ , d'autre part $X$ est le seul objet à vérifier $P$ .

Caractériser un objet $X$ , c'est en trouver une définition assez générale pour être vraie, mais assez précise pour ne pas englober d'autres objets. En d'autres termes, la propriété $P$ est nécessaire et suffisante :

Y

vérifie

P\iff Y=X

Exemples

La fonction exponentielle est caractérisée comme l'unique fonction réelle qui vaut 1 en 0 et qui est égale à sa dérivée.
Parmi les lois de probabilité sur l'intervalle $[0, +\infty[$ de la droite réelle, sans mémoire caractérise les lois exponentielles. Cette affirmation signifie que les lois exponentielles sont les seules lois de probabilité à être sans mémoire.
Selon le théorème de Bohr-Mollerup, parmi les fonctions f définies sur $]0, +\infty[$ telles que f(1) = 1 et x f(x) = f(x + 1) pour tout x > 0, la log-convexité caractérise la fonction gamma. Cela signifie que parmi ces fonctions f, la fonction gamma est la seule pour laquelle log ∘ f est une fonction convexe.
Le cercle peut être caractérisé comme une variété à une dimension, compacte et connexe ; ici la caractérisation, en tant que variété lisse est à un difféomorphisme près.

Notes et références

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