Bialgèbre de Lie

En mathématiques, une bialgèbre de Lie est une algèbre de Lie munie d'une application

${\displaystyle \delta$ :{\mathfrak {g}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}

(appelée coproduit ou cocommutateur) telle que l'application duale ${\displaystyle \delta ^{*}}$ soit un crochet de Lie, et telle que ${\displaystyle \delta }$ soit un cocycle :

${\displaystyle \delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X).}$

Remarque importante : Une bialgèbre de Lie n'est pas a proprement parler une bialgèbre. En effet, on exige en général d'une bialgèbre que son algèbre sous-jacente soit unitaire et associative.

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