André Unterberger

• Doctorat d'État à Paris en 1971, sous la direction de Laurent Schwartz[1].
• Professeur à Purdue University (West Lafayette, IN, USA), (2 ans), puis à Poitiers (1 an), Dijon (1 an), et Aarhus (Danemark) (1974-75), avant d'être nommé à Reims en 1975.

André Unterberger a obtenu le Prix Sunyer i Balaguer en 2002 pour le livre 7 ci-dessous.

Depuis Newton, l'évolution (physique) d'un corps matériel est représentée par l'évolution (mathématique) d'un point dans l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (celui de la géométrie ordinaire).

Avec les théories physiques du XXme siècle, cet espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ a dû être remplacé par des espaces beaucoup plus abstraits; certains d'entre eux se nomment espaces espace de Hilbert

• Création de la théorie des opérateurs pseudo-différentiels. Il s'agit d'un outil fondamental en analyse mathématique, abondamment utilisé en physique mathématique. André Unterberger a contribué à leur création en même temps que Joseph J. Kohn, Louis Nirenberg et Lars Hörmander. Ce rôle dans l'origine de la théorie est attesté dans deux textes: un exposé J.J. Kohn[2] sur les travaux de L. Nirenberg, et un hommage à L. Hörmander[3].

• Calcul de Weyl. Dans les années 1930, Weyl avait inventé une méthode (quantification) pour faire correspondre à certaines fonctions ${\displaystyle a}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ un opérateur ${\displaystyle Op(a)}$ sur ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$. La définition suivante est donnée à la fois dans l'article l'exposé[4], et dans le livre de N. Lerner[5]. ${\displaystyle (Op(a)f)(t)=(2\pi )^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{2n}}a\left({\frac {t+y}{2}},\xi \right)f(y)e^{i\xi \cdot (t-y)}dyd\xi .}$ La définition de l'opérateur ${\displaystyle Op(a)}$ ressemble à l'ancienne définition des opérateurs pseudo-différentiels, mais présente certaines supériorités, mises en évidence dans un chapitre[6] d'un Lecture Notes in Physics. Une autre définition équivalente repose sur la notion de fonction de Wigner, qui est définie dans le livre[5]. On associe à toute paire de fonctions ${\displaystyle (f,g)}$ dans ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ une fonction, dite fonction de Wigner, définie par ${\displaystyle W(f,g)(x,\xi )=\pi ^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x+t){\overline {g(x-t)}}e^{-2it.\xi }dt=\pi ^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(2x-t){\overline {g(t)}}e^{2i\xi \cdot (t-x)}dt.}$ On voit que l'opérateur ${\displaystyle Op(a)}$ correspondant à la fonction ${\displaystyle a}$ vérifie l'égalité ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}(Op(a)f)(x){\overline {g(x)}}dx=\int _{\mathbb {R} ^{2n}}a(x,\xi )W(f,g)(x,\xi )dxd\xi .}$ Pour éfinir de manière équivalente la fonction de Wigner, on définit, pour tout ${\displaystyle X=(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{2n}}$, un opérateur de symétrie ${\displaystyle S_{X}}$ par ${\displaystyle (S_{x,\xi }F(t)=F(2x-t)e^{2i\xi \cdot (t-x)}.}$ . La fonction de Wigner est alors définie, pour tout ${\displaystyle X=(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{2n}}$, par ${\displaystyle W(f,g)(X)=<\Sigma _{X}f,g>.}$

• Extensions du calcul de Weyl: principes généraux. L'idée générale est de définir, pour tout ${\displaystyle X}$ sans un certain certain ensemble ${\displaystyle \Omega }$ appelé espace de phase, un opérateur ${\displaystyle S_{X}}$ dans un certain espace de Hilbert ${\displaystyle {\cal {H}}}$. On définit ensuite la fonction de Wigner ${\displaystyle W(f,g)(X)}$ de deux éléments de ${\displaystyle {\cal {H}}}$ comme ci-dessus. Cela permet ensuite d"associer, à toute fonction ${\displaystyle a}$ dans l'espace de phase, un opérateur ${\displaystyle Op(a)}$ dans l'espace de Hilbert, ce qui généralise le calcul de Weyl. Mais la définition de ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ ne peut être arbitraire. On se donne aussi un groupe ${\displaystyle G}$, et d'une part une représentation de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle {\cal {H}}}$, d'autre part une action du groupe ${\displaystyle G}$ dans l'espace de phase ${\displaystyle \Omega }$. Il faut que l'égalité suivante (COV) soit vérifiée pour tous ${\displaystyle X\in \Omega }$ et ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \pi (g)S_{X}\pi (g)^{-1}=S_{gX}.}$ Le calcul de Weyl ainsi défini possède alors d'intéressantes propriétés. Dans le cas du calcul de Weyl usuel, cette égalité est vérifiée si ${\displaystyle G}$ est le groupe de Heisenberg, c'est-à-dire à l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$ muni de la loi de composition ${\displaystyle (a,b,\theta )(a',b',\theta ')=(a+a',b+b',\theta +\theta '+{\frac {1}{2}}(b\cdot a'-a\cdot b')).}$ , si ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{2n}}$, si ${\displaystyle {\cal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$, et si on choisit une représentation ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle {\cal {H}}}$ et une action de groupe de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ convenables.
  André Unterberger a introduit plusieurs généralisations du calcul de Weyl, dans lesquels le groupe, l'espace de phase et l'espace de Hilbert sont modifiés. Nous allons en présenter deux: l'une où le groupe ${\displaystyle G}$ est le groupe affine, l'autre où c'est le groupe de Poincaré.

Les outils techniques créés portent les noms de fonction de Wigner affine et de calcul de Fuchs. Pour généraliser le calcul de Weyl, l'une des premières idées d'André Unterberger a été dans[7] de remplacer le groupe de Heisenberg par le groupe affine. On appelle ainsi l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} }$ muni de la loi de composition

${\displaystyle (a,b)(a',b')=(aa',b'+ba').}$

Maintenant, l'espace de Hilbert est celui des fonctions (mesurables) sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ telles que

${\displaystyle \Vert f\Vert _{\cal {H}}^{2}=\int _{0}^{\infty }|f(\omega )|^{2}{\frac {d\omega }{\omega }}<\infty .}$

- L'espace de phase est ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} }$.
- On a une représentation unitaire ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle {\cal {H}}}$ définie, pour tout ${\displaystyle (a,b)\in G}$, par

${\displaystyle {\Big (}\pi (a,b)F{\Big )}(x)=e^{i{\frac {bx}{a}}}F\left({\frac {x}{a}}\right).}$

- On a une action du groupe ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle \Omega }$ définie par

${\displaystyle (a,b)\cdot (\omega ,t)=\left(a\omega ,t+b\omega \right).}$

- On définit un opérateur de symétrie ${\displaystyle S_{\omega ,t}}$ pour tout ${\displaystyle (\omega ,t)}$ dans l'espace de phase par

${\displaystyle (S_{\omega ,t}f)(\gamma )=f\left({\frac {\omega ^{2}}{\gamma }}\right)e^{it({\frac {\gamma }{\omega }}-{\frac {\omega }{\gamma }})}.}$

On montre que l'égalité (COV-1) est vérifiée. On définit la fonction de Wigner affine de ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ dans ${\displaystyle {\cal {H}}}$ comme ci-dessus, c'est-à-dire, explicitement, par:

${\displaystyle W(f,g)(\omega ,t)=(2\pi )^{-1}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {\omega ^{2}}{\gamma }}\right)e^{it({\frac {\gamma }{\omega }}-{\frac {\omega }{\gamma }})}\ {\overline {g(\gamma )}}{\frac {d\gamma }{\gamma }}.}$

C'est, à de petits détails près, la fonction introduite par André Unterberger dans[7] (égalité (2.1)) sous le nom de fonction de Wigner passive du calcul de Fuchs. La propriété de covariance a permis à André Unterberger de construire, dans ce même article, un calcul pseudodifférentiel généralisé qu'il appelle calcul de Fuchs. Dans l'égalité (2.2) du même article, il introduit aussi une fonction de Wigner active du calcul de Fuchs, définie par

${\displaystyle W^{\sharp }(f,g)(\omega ,t)=(2\pi )^{-1}\int _{0}^{\infty }f(\gamma \omega )\ {\overline {f(\omega /\gamma )}}e^{it(\gamma -\gamma ^{-1})}(1+\gamma ^{-2})d\gamma .}$
- Dans le travail récent[8] d'intéressantes propriétés de la fonction de Wigner affine (active) sont prouvées.
- Si on appelle signal toute fonction ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, les spécialistes utilisent depuis 1955 la fonction de Wigner usuelle ${\displaystyle W(f,f)(\omega ,t)}$, (appliquée surtout à ${\displaystyle g=f}$), qu'ils jugent utile pour traiter le signal ${\displaystyle f}$. C'est donc une fonction du temps ${\displaystyle t}$ et de la fréquence ${\displaystyle \omega }$. Il se trouve que, pour les fréquences, le groupe multiplicatif est plus utile que le groupe additif. Un intervalle en musique est en fait le rapport de deux fréquences. Ce fait a conduit les spécialistes de théorie du signal, en particulier J. et P. Bertrand dans[9] et Patrick Flandrin dans[10], à substituer la fonction ${\displaystyle W^{\sharp }(f,f)(\omega ,t)}$ à la fonction de Wigner usuelle. On doit alors considérer que ${\displaystyle f}$ n'est pas la fonction de ${\displaystyle t}$, mais sa transformée de Fourier, fonction de la fréquence.

Les outils techniques créés portent les noms de Calcul de Klein Gordon et de fonction de Wigner relativiste. Ici, nous avons ${\displaystyle n}$ variables d'espace, une variable de temps, et un paramètre ${\displaystyle c>0}$ qui est la vitesse de la lumière. On a une forme bilinéaire ${\displaystyle Q}$ définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ par

${\displaystyle Q(x,y)=x_{0}y_{0}-\sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}.}$

André Unterberger a développé dans ce contexte un calcul de Weyl généralisé, dit de Klein Gordon, dans[11].
- Le groupe ${\displaystyle G}$ est le groupe de Poincaré ${\displaystyle {\cal {P}}}$. Pour le définir, on commence par définir le groupe de Lorentz ${\displaystyle {\cal {L}}}$, qui est l'ensemble des applications linéaires ${\displaystyle M}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ telles que, pour tous ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$:

${\displaystyle Q(Mx,My)=Q(x,y).}$

Le groupe de Poincaré ${\displaystyle {\cal {P}}}$ est l'ensemble des ${\displaystyle (M,a)}$ dans ${\displaystyle {\cal {L}}\times \mathbb {R} ^{n+1}}$ muni de la loi de composition:

${\displaystyle (M,a)(M',a')=(MM',a+M\cdot a').}$
- Pour définir l'espace de Hilbert, on note ${\displaystyle {\cal {M}}}$ l'hyperboloïde (des quadri-vitesses si ${\displaystyle n=3}$))

${\displaystyle {\cal {M}}={\Big \{}{\bf {v}}=(v_{0},{\overrightarrow {v}})\in \mathbb {R} ^{n+1},\ \ \ \ \ \ Q({\bf {v}},{\bf {v}})=c^{2},\ \ \ \ \ \ v_{0}>0{\Big \}}.}$

On peut définir l'intégrale d'une fonction ${\displaystyle F}$ sur ${\displaystyle {\cal {M}}}$. Pour tout ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$, soit ${\displaystyle \gamma (v)=({\sqrt {c^{2}+|v|^{2}}},v)}$ le point correspondant de l'hyperboloïde. On définit l'intégrale d'une fonction ${\displaystyle F}$ sur ${\displaystyle {\cal {M}}}$ par

${\displaystyle \int _{\cal {M}}F(\omega )d\mu (\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}F(\gamma (x)){\frac {dx}{\sqrt {c^{2}+|x|^{2}}}}.}$

On note ${\displaystyle {\cal {H}}}$ l'espace des fonctions ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle {\cal {M}}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ telles que

${\displaystyle \Vert F\Vert _{\cal {H}}^{2}=\int _{\cal {M}}|F(\omega )|^{2}d\mu (\omega )<\infty .}$
- L'espace de phase est ${\displaystyle \Omega ={\cal {M}}\times \mathbb {R} ^{n+1}}$
- Nous utilisons une représentation naturelle ${\displaystyle \pi }$ du groupe de Poincaré ${\displaystyle {\cal {P}}}$ dans ${\displaystyle {\cal {H}}}$ définie par

${\displaystyle {\Big (}\pi (M,a)F{\Big )}({\bf {v}})=F(M^{-1}\cdot {\bf {v}})\ e^{ic^{-2}Q(a,{\bf {v}})}.}$

pour tout ${\displaystyle {\bf {v}}\in {\cal {M}}}$. C'est une représentation unitaire. En effet, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ et pour tout ${\displaystyle M\in {\cal {L}}}$, posons ${\displaystyle \gamma (x)=(x_{0},x)}$ et ${\displaystyle M\gamma (x)=(\psi _{0}(x),\psi (x))}$, ce qui définit une application ${\displaystyle \psi }$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. On montre que le jacobien de cette application ${\displaystyle \psi }$ vérifie

${\displaystyle |{\rm {det}}\psi '(x)|={\frac {\psi _{0}(x)}{x_{0}}}.}$

Autrement dit, pour tout ${\displaystyle M\in {\cal {L}}}$

${\displaystyle \int _{\cal {M}}F(\omega )d\mu (\omega )=\int _{\cal {M}}F(M\omega )d\mu (\omega ).}$

On dit que ${\displaystyle \mu }$ est une mesure sur ${\displaystyle {\cal {M}}}$ invariante par l'action de ${\displaystyle {\cal {L}}}$. On en déduit que la représentation définie ci-dessus est unitaire. Voir aussi[12]
- L'action du groupe de Poincaré sur l'espace de phase ${\displaystyle \Omega }$ est définie, pour tout ${\displaystyle (k,y)\in {\cal {M}}\times \mathbb {R} ^{n+1}}$, par

${\displaystyle (M,a)\cdot (k,y)=(M\cdot k,a+M\cdot y).}$
- Définissons maintenant la symétrie ${\displaystyle S_{X}}$ pour tout ${\displaystyle X\in \Omega }$.
Nous allons d'abord définir, pour tout ${\displaystyle {\bf {k}}\in {\cal {M}}}$, une symétrie ${\displaystyle \Sigma _{\bf {k}}}$ par rapport à ${\displaystyle {\bf {k}}}$, qui sera une application de ${\displaystyle {\cal {M}}}$ dans lui-même. Cette symétrie est simplement la restriction à ${\displaystyle {\cal {M}}}$ de la symétrie (pour la forme ${\displaystyle Q}$ de la symétrie par rapport à la droite engendrée par ${\displaystyle {\bf {k}}}$. On a donc:

${\displaystyle \Sigma _{\bf {k}}{\bf {v}}=2c^{-2}Q({\bf {v}},{\bf {k}}){\bf {k}}-{\bf {v}}.}$

Ensuite on définit, pour tout ${\displaystyle X=(k,y)\in \Omega }$, l'opérateur de symétrie ${\displaystyle S_{X}}$ dans ${\displaystyle {\cal {H}}}$ par

${\displaystyle (S_{(k,y)}F)(\omega )=F(\Sigma _{k}\omega )e^{ic^{-2}Q(y,\omega )-ic^{-2}Q(y,\Sigma _{k}\omega )}.}$

C'est la définition de[11] (voir (2.15) page 25, avec la définition de J en (1.3) page 21).
- La fonction de Wigner relativiste ${\displaystyle W^{rel}}$ de deux fonctions ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle {\cal {H}}}$ est définie, selon les principes généraux, pour tout ${\displaystyle X\in \Omega }$, par (WIG):

${\displaystyle W^{rel}(F,G)(X,c)=<S_{X}F,G>.}$

Autrement dit,

${\displaystyle W^{rel}(F,G)(({\bf {k}},y),c)=\int _{\cal {M}}F(\Sigma _{\bf {k}}(\omega ){\overline {G(\omega )}}e^{{\frac {i}{c^{2}}}(Q(y,\omega )-Q(y,\Sigma _{\bf {k}}(\omega )))}d\mu (\omega ).}$

L'égalité de covariance (COV-2) est vérifiée d'après les principes généraux. Cette fonction de Wigner est introduite par A. Unterberger dans[11] (proposition 4.5). Elle a aussi été introduite, quelques années plus tard, par[13]
- Limite non relativiste. Nous allons étudier le comportement de cette fonction de Wigner relativiste quand ${\displaystyle c}$ tend vers l'infini. Notons ${\displaystyle p}$ la projection qui associe, à tout ${\displaystyle x=(x_{0},x_{1},\cdots x_{n})}$, le vecteur ${\displaystyle p(x)=(x_{1},\cdots x_{n})}$. Pour toutes fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, soient ${\displaystyle f_{c}}$ et ${\displaystyle g_{c}}$ les fonctions sur l'hyperboloïde définies par ${\displaystyle f_{c}(\omega )=f(p(\omega )/c)}$ et de même pour ${\displaystyle g}$. Les égalités ci-dessus montrent que, si ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ sont dans ${\displaystyle {\cal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$:

${\displaystyle \lim _{c\rightarrow \infty }c^{1-n}W^{rel}(f_{c},g_{c})((\gamma (cx),(0,c\xi )),c)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(2x-t){\overline {g(t)}}e^{2i\xi (t-x)}dt.}$

Quand la vitesse de la lumière tend vers l'infini, on retrouve la fonction de Wigner usuelle.
- À partir de ces notions de symétrie et de fonction de Wigner, André Unterberger a construit un calcul pseudo-différentiel relativiste, dit de Klein Gordon. Dans[14], André Unterberger a développé un calcul plus général, qui contient à la fois ceux de Fuchs et de Klein Gordon.

Calcul de Weyl et fonctions automorphes (en) et formes modulaires. À partir de 1995, André Unterberger s'est orienté vers ce domaine. On trouvera ci-dessous la liste des livres qu'il lui a consacrés. Ces travaux semblent très prometteurs. On note l'excellente critique de Alexander Dynin (en) sur le livre 9. On peut espérer que ces travaux contribueront peut-être à une preuve de l'Hypothèse de Riemann.

1. Pseudodifferential methods in number theory, Birkhauser Boston Inc (2018), Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications. 13 (Auteurs : A.Unterberger)
2. (en) A. Unterberger, Pseudodifferential operators with automorphic symbols, Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications. 11, 2015
3. (en) A. Unterberger, Pseudodifferential analysis, automorphic distributions in the plane and modular forms, Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications. 8, 2011
4. (en) A. Unterberger, Alternative pseudodifferential analysis. With an application to modular forms, Lecture Notes in Mathematics. 1935, 2008
5. (en) A. Unterberger, Quantization and arithmetic, Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications. 1, 2008
6. (en) A.Unterberger, The fourfold way in real analysis. An alternative to the metaplectic representation, Progress in Mathematics. 250, 2006
7. (en) A. Unterberger, Automorphic pseudodifferential analysis and higher level Weyl calculi, Progress in Mathematics. 209, 2003
8. (en) A. Unterberger, Quantization and non-holomorphic modular forms, Lecture Notes in Mathematics. 1742, 2000
9. (en) A. Unterberger, H. Upmeier, Pseudodifferential analysis on symmetric cones, Studies in Advanced Mathematics, 1996. On voit l'excellente critique de Alexander Dynin (en). "(This book) is an introduction to the impressive research program akin to the Weyl philosophy which A. Unterberger (with the help of J. Unterberger and H. Upmeier) has been vigorously developing since the early 1980’s."
10. (en) A. Unterberger, Pseudo-differential operators and applications: an introduction, Lecture Notes Series. 46, 1976

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